Quadrati magici: matematica e pensiero occulto

La diffusione dei quadrati magici nell’Europa del Rinascimento non può essere separata dallo sviluppo del pensiero magico-ermetico


Un quadrato magico è una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n^2 tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia. Questa si calcola con la formula:

M = ½ n (n^2 + 1)

Così, ad esempio, nel quadrato magico di lato (ordine) n = 3, la costante di magia vale:

M(3) = ½ ∙ 3 (3^2 + 1) = 3/2 ∙ 10 = 15

Non è possibile costruire quadrati magici di ordine 2 con numeri non ripetuti (2 e 3), mentre quello di ordine 1 è banale, contenendo solo l’unità. Le costanti di magia per i quadrati magici costituiscono la successione A006003 dell’OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences). I primi 15 elementi di questa successione sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695.

Se si sottrae da n^2 + 1 ogni numero di un quadrato magico, si ottiene un altro quadrato magico, chiamato quadrato magico complementare:

Un quadrato che consiste di numeri consecutivi che iniziano da 1 viene talvolta definito quadrato magico “normale”. Entrambi i quadrati sopra rappresentati lo sono, anzi, essi sono considerati lo stesso quadrato magico, perché uno si può ottenere dall’altro per rotazione o riflessione: esiste un solo esempio di quadrato magico di ordine 3.

Il quadrato magico di ordine 4 possiede la costante di magia M(4) = 34. Di esso sono possibili 880 configurazioni diverse senza rotazione o riflessione, come stabilì per primo Frénicle de Bessy nel 1693. Eccone un esempio, sul quale ritorneremo più tardi:

Il quadrato magico di ordine 5 possiede la costante di magia M(5) = 65. Di esso sono possibili 275.305.224 configurazioni diverse, come stabilito da R. Schroeppel in 1973 con l’ausilio del computer. Eccone un esempio:

Non è ancora noto il numero di configurazioni possibili per i quadrati magici di ordine superiore a 5, anche se Pinn e Wieczerkowski (1998) stimano con metodi stastistici che per n = 6 possano essere (1,7745 ± 0,0016) × 10^19 (!) Resta tuttavia irrisolto il problema più generale di trovare una regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un qualsiasi ordine n.

I quadrati magici hanno una storia molto antica. Gli antichi Cinesi conoscevano l’unico quadrato di ordine 3, che chiamavano Lo Shu, al quale è associata una leggenda secondo la quale una disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga con inciso sul guscio il triangolo magico, ad indicare di sacrificare a 15 divinità. La configurazione del Lo Shu era considerata simbolo di armonia e ispirava la pianta di templi e città, divisi in 3 × 3 settori.

I quadrati magici, che erano noti anche in India e in Persia, giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la mediazione araba. Il grande matematico Thābit ibn Qurra, attivo a Baghdad, ne parlò all’inizio del IX secolo. Una lista di quadrati magici di ordine da 3 a 9 fu fornito intorno al 990 nelle Rasa`il, un repertorio di epistole di carattere enciclopedico e ispirazione neoplatonica compilato da un gruppo di eruditi di Bassora noto con il nome di Ikhwan al-safa (“fratelli di purità”). Il luogo di trasmissione dal mondo arabo all’Europa sembra essere stato la Spagna, visto che il filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090–1167), che visse a Granada e tradusse molte opere dall’arabo in ebraico, ne parla nelle sue opere. Egli viaggiò molto in Italia, e potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa.

Il primo riferimento ai quadrati magici nel mondo bizantino lo fornisce il retore e grammatico Manuel Moschopoulos che compilò un trattatello su di essi intorno al 1315, ma pare che l’influenza nella sua epoca sia stata minima, poiché l’opera andò persa e fu ritrovata a Parigi e tradotta dal geometra francese Philippe de la Hire solo all’inizio del Settecento. L’opera di Moschopoulos è importante perché per la prima volta sono esposti alcuni metodi per la costruzione dei quadrati magici di ordine dispari e di ordine pari purché multiplo di 4.

Cenni ai quadrati magici si ritrovano nel ms. 2433 in lingua greca (datato giugno-agosto 1339) conservato alla Biblioteca Universitaria di Bologna, che contiene i quadrati di ordine 6 e di ordine 9.

La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa avvenne però nel Quattrocento, con lo sviluppo in Italia del neoplatonismo rinascimentale. La caduta dell’Impero d’Oriente nel 1452 portò all’arrivo delle opere di Platone e dei neoplatonici, nuovamente rivelate all’Occidente tramite i manoscritti greci portati da Bisanzio e intellettuali della diaspora come Gemisto Pletone. Il neoplatonismo rinascimentale, che ebbe il suo centro in Firenze e suo più alto esponente in Marsilio Ficino, fu un ricco amalgama di dottrine genuinamente platoniche, di neoplatonismo e di altri occultismi filosofici arcaici, come il Corpus Hermeticum attribuito al mitico Ermete Trismegisto, o l’astrologia. A questo ermetismo si associò poco dopo l’assimilazione della Kabbalah e delle tecniche numerologiche e combinatorie del misticismo ebraico, che vennero introdotte nella sintesi rinascimentale da Giovanni Pico della Mirandola, sinceramente convinto della possibile convivenza delle sue idee con il cristianesimo. La cacciata degli ebrei dalla Spagna nel 1492 diede poi nuovo linfa agli studi cabalistici in tutta Europa. Nacque così la figura del mago rinascimentale, figura di “dignità” elevata, dotata di poteri di intervento sul mondo mediante la conoscenza di saperi occulti derivanti dall’antico passato.

Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come il molto concreto Luca Pacioli, che tuttavia chiamò “divina” la proporzione fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Non sorprende pertanto che egli si occupasse di quadrati magici, nel manoscritto De viribus quantitatis, redatto prima del 1510, nei problemi 90–96. Si noti come il Pacioli associ i diversi quadrati magici ai pianeti allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. Un vero e proprio mago rinascimentale era invece il medico, algebrista, inventore e astrologo milanese Girolamo Cardano, a dimostrazione della grande influenza del pensiero magico sugli intellettuali del tempo.

Ben presto il movimento di pensiero maturato in Italia si diffuse oltre le Alpi, soprattutto tra coloro che avevano avuto modo di soggiornare nel nostro paese. Tra di essi vi fu l’avventuroso intellettuale e mago Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486–1535). La sua opera più celebre, il De Occulta Philosophia, che circolò manoscritta a partire dal 1510, è una vera e propria summa delle conoscenze indispensabili al mago rinascimentale, fortemente influenzata dal neoplatonismo, dall’astrologia e dalla Kabbalah, con velleità operative e cerimoniali. L’opera fu scritta con la revisione del dotto abate Tritemio (Johann Heidenberg), poliglotta, esoterista e crittografo, del quale era stato allievo. Per Agrippa, la matematica è arte magica per eccellenza:

«Così, quando un mago è versato nella filosofia naturale e nella matematica e conosce le scienze che ne derivano, l’aritmetica, la musica, la geometria, l’ottica, l’astronomia e quelle che si esercitano a mezzo di pesi, di misure, di proporzioni, di giunzioni, nonché la meccanica, che è la risultante di tutte queste discipline, può compiere cose meravigliose che stupiscono gli uomini più colti».

Nel manoscritto del 1510 non compaiono tuttavia i quadrati magici, che saranno inseriti solo più tardi, nel lungo periodo di revisione dell’opera che precedette l’edizione a stampa del 1533. In questi due decenni abbondanti, Agrippa aveva viaggiato molto, in Inghilterra, in Francia, nei Paesi Bassi e in Italia. Qui studiò la tradizione ermetica e la Kabbalah con maestri che si consideravano eredi di Ficino e di Pico. E’ assai probabile che Agrippa e Pacioli si siano incontrati a Bologna nel 1507, durante il primo viaggio in Italia del tedesco. Non è escluso che da questi contatti possa aver maturato la scelta di inserire i quadrati magici nell’opera a stampa.

Nell’edizione del 1533 i quadrati magici compaiono nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. Di ogni quadrato magico, Agrippa fornisce la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:

Ordine 3: quadrato di Saturno
Ordine 4: quadrato di Giove
Ordine 5: quadrato di Marte
Ordine 6: quadrato del Sole
Ordine 7: quadrato di Venere
Ordine 8: quadrato di Mercurio
Ordine 9: quadrato della Luna.

Ecco ad esempio la descrizione della tavola contenente il quadrato del Sole (n = 6, M = 111):

«La quarta tavola è attribuita al Sole e composta d’un quadrato a sei colonne con trentasei numeri, che danno su ogni linea un totale di centoundici e sommati insieme formano il numero seicentosessantasei. È governata dai nomi divini con una intelligenza per il bene e un demone per il male e se ne estraggono i caratteri del Sole e dei suoi Spiriti. Incisa su una placca d’oro con l’immagine del Sole trionfante, rende chi la porta con sé glorioso, amabile, piacevole, suscettibile di ottenere quanto desideri, simile ai re e ai principi. Ma, se l’immagine rappresenta un sole leso, vale a rendere tiranni, superbi, ambiziosi, incontentabili e a procacciare una cattiva fine.»

Ogni quadrato è accompagnato dal suo corrispondente in caratteri ebraici (così almeno sostiene l’autore) e da un numero variabile da 1 a 3 di Segni o Caratteri, che possono sembrare dei percorsi da seguire sullo schema. Ciascun quadrato planetario può esercitare un influsso benefico oppure malefico in funzione dell’immagine che lo accompagna, secondo la tradizionale ambivalenza dei simboli.

Come è noto, un quadrato magico di ordine 4 (quadrato di Giove) compare in una delle incisioni più famose del grande artista tedesco Albrecht Dürer (1471–1528), la Melencolia I, realizzata nel 1514. Esso si trova sulla parete dietro il soggetto, in alto a destra di chi guarda, sotto la campana. L’incisione è stata oggetto di diversi studi eruditi, che hanno messo in risalto come, secondo la dottrina medioevale degli umori, a ciascuno di essi corrispondono uno dei quattro elementi e quattro pianeti, secondo lo schema:

umore sanguigno – aria – Giove
umore collerico – fuoco – Marte
umore flemmatico – acqua – Luna
umore melanconico – terra – Saturno

Come scrive Frances Yates in Cabbala e occultismo nell’età elisabettiana (PBE Einaudi, 1982),

«Il più sfavorito e detestabile di tutti e quattro gli umori era la melanconia abbinata a Saturno. Il melanconico era scuro di carnagione, nero di capelli e nel volto: la facies nigra o colorito livido causato dall’atrabile della carnagione dei melanconici. La sua tipica posizione fisica, espressiva di tristezza e depressione, era l’appoggiare la testa sulla mano. Anche i suoi “doni”, o attività caratteristiche, non erano attraenti: riusciva bene nella misurazione, nel calcolo e nel conto – nel misurare la terra e nel contare il denaro – ma come erano basse e terrene queste occupazioni in confronto alle splendide qualità dell’uomo sanguigno di Giove, o alla grazia e all’avvenenza dei nati sotto Venere!»

La Melencolia di Dürer presenta proprio i canoni descritti, facies nigra, posizione pensosa, regge un compasso per la misurazione e il calcolo, ha una borsa per contare il denaro ed è circondata da oggetti di forma geometrica, tra i quali uno strano poliedro che ha interessato generazioni di interpreti e matematici.

Secondo il pensiero magico-astrologico rinascimentale, il temperamento malinconico derivante da Saturno poteva essere rivalutato, passare dal grado più basso degli umori a quello più alto, nel caso dei grandi pensatori, dei filosofi, dei profeti, dei veggenti. Essere malinconici poteva essere un segno di genialità (curioso che gli studi recenti abbiano sottolineato un legame tra genio e depressione) e Marsilio Ficino, nel De Triplici Vita (1489), dedicato alla magia astrale, rivolgendosi agli studiosi melanconici e saturnini, consiglia di aver cura di moderare la severità saturnina con gli influssi di Giove. Egli inoltre eleva l’accoppiata Giove-Saturno alla protezione delle attività intellettuali Ebbene, è proprio quanto avviene nell’opera di Dürer, in cui il quadrato di Giove sembra proprio avere la funzione di compensare gli effetti del dominio di Saturno.

Il quadrato di ordine 4 che compare nella Melancolia I possiede la particolarità, di certo non casuale, che le due caselle centrali dell’ultima riga portano i numeri 15 14, che è la data di realizzazione dell’opera, e che le due caselle poste alle estremità contengono i numeri 4 e 1, che corrispondono alle lettere D e A dell’alfabeto, le iniziali di Albrecht Dürer, proprio a mo’ di firma.

Non fu di certo Ficino la fonte immediata dell’artista di Norimberga. E’ più probabile che egli abbia conosciuto il manoscritto del De Occulta Philosophia, che cominciò a circolare quattro anni prima dell’esecuzione della Melencolia e sicuramente era conosciuto negli ambienti frequentati da Dürer. Secondo il classico studio di Klibansky, Panofsky, e Saxl, Saturno e la melanconia (Einaudi, 1964), l’opera potrebbe essere stata addirittura ispirata da un preciso passo del manoscritto di Agrippa del 1510, che i tre autori riproducono e traducono. Comunque sia andata, la presenza del quadrato di Giove nella bellissima incisione, una delle opere più conosciute del rinascimento tedesco, dimostra come la diffusione dei quadrati magici nell’Europa del Rinascimento non può essere separata dal successo del pensiero magico-ermetico che si era sviluppato a partire dalla metà del Quattrocento.