Una sequenza fuorviante

Il problema del cerchio di Moser

Disegniamo n punti su una circonferenza, in modo che, tracciando tutte le corde che collegano ogni coppia di punti, non ci siano all’interno punti in cui ne passano più di due. In quante regioni viene suddiviso il cerchio? Vediamo.

Per n=1 si ottiene una sola regione:

Per n=2 si ottengono r= 2 regioni:

Per n=3 si ottengono r= 4 regioni:

Per n=4 si ottengono r= 8 regioni:

Per n=5 si ottengono r=16 regioni:

Capito come funziona? Sicuri? Perché se, avete ricavato che a ogni punto in più le regioni raddoppiano, cioè che n punti danno luogo a r= 2^n – 1 regioni, avete sbagliato!

Proviamo per n=6 e contiamo quante sono le regioni: sono 31, non 32!

L’ipotesi che la relazione sia r= 2^n – 1 é da scartare. In realtà la spiegazione corretta, di questo che è noto come problema del cerchio di Moser, è un pochino più raffinata: r è la somma dei primi 5 termini della riga n del triangolo di Tartaglia dei coefficienti binomiali.

I termini di r costituiscono la serie OEIS A000127.

Formalmente il numero delle regioni r si calcola con la relazione:

r(n) = (n; 4)+(n; 2)+1 = 1/(24)(n^4–6n^3+23n^2–18n+24),

dove le quantità tra parentesi (n su k) indicano il coefficiente binomiale.

Questo problema ha un grande valore didattico, perché mostra come prove parziali, anche su numeri molto grandi (magari con l’ausilio della potenza di calcolo dei computer) possano portare a risultati non corretti. Ecco perché in matematica si cerca sempre di trovare un prova generale, una dimostrazione formale, di ogni teorema.