[軟體工程] 二進位表達負數：1’s Complement 與 2’s Complement
在電腦的世界中，如何用二進位表達負數？一補數與二補數入門介紹。
「如何用二進位表達負數？」
最近被問到如何用二進位表達負數，腦中浮現了大學的數位電路設計課程，無奈的是短時間內依稀記得很多 1，什麼東西 0、1 交換，很遺憾地沒有完整回答出這個問題。對話結束後，這個問題還是時不時的浮在腦海裡，乾脆來複習一下用二進位表達負數的方法，那我們就開始吧。
💡 Contents:
1. 如何用二進位表達負數？
2. Signed Magnitude
3. 1's Complement
4. 2's Complement
5. 總結1. 如何用二進位表達負數？
用二進位表達負數的方法有三種：
- Signed Magnitude
用第一位表達正負數，0 為正，1 為負 - 1’s Complement
一補數 - 2’s Complement
二補數，為電腦的世界中，最普遍用來表達負數的方法
這三個的差別在哪呢？接下來，用 -2 這個負數來試試看吧！
2. Signed Magnitude
2 和 -2 範例
- 十進位：2
二進位：0010 - 十進位：-2
二進位：1010
算法
Signed Magnitude 為最直觀的表達方法 —用第一項表達正負號。第一項稱為 Signed Bit，0 代表正，1 代表負，後續位數全數相同。
範圍
4 bit 數字可表達的範圍為 -7 ~ +7。
優點
最直觀，對人類來說很好懂。
缺點
雖然對人類來說最好懂，但對機器而言，除了字面上的理解之外，還要考慮加減等運算時的複雜度，因此衍生出了接下來兩種對電腦比較友善的方法— 1’s Complement 和 2’s Complement。
3. 1’s Complement
2 和 -2 範例
- 十進位：2
二進位：0010 - 十進位：-2
二進位：1101
算法
正數的 0、1 全部交換。
範圍
4 bit 數字可表達的範圍同 Signed Magnitude，為 -7 ~ +7。
優點－加法器友善
用一補數表達負數之後，減法的運算「A - B」，可使用「 A + (-B)」算得，即用數字 A 加上數字 B 的一補數而來，再依進位（carry）和溢位（overflow）的狀況後處理，得最終結果。
缺點－不唯一的「0」
值得注意的是，若用 1’s Complement 表達負數，「0」會用兩個表達方法— 「0000」和「1111」，這兩者都是 0。+0 和 -0 代表的是同樣的數字，但在一補數的二進位表示法卻不相同，因此造成一些混淆，也帶出了下一個方法 — 2’s Complement。
4. 2’s Complement
2 和 -2 範例
- 十進位：2
二進位：0010 - 十進位：-2
二進位：1110
算法
1’s Complement 再加 1。
範圍
4 bit 數字可表達的範圍為 -8 ~ +7，多一個可表達的數字了。
優點－唯一的「0」
「0」的表示方法只有「0000」一種，不再有兩種表達方法了，達到避免混淆的效果。
因為 0 的表達方法沒有重複的關係，用 2’s Complement 來表達負數的話，多了一種排列組合可以拿來用，也就是 -8（1000），所以 2’s Complement 對比前兩個方法還有一個好處 —能表達的數字多了一個。
5. 總結
還記得大學這些基礎課程時學什麼都覺得好辛苦，在業界打滾幾年後漸漸有了一些「感覺」，也開始會主動回頭去看看一些以前學過但已忘記（或是根本沒理解過 😂）的內容。
本篇初步介紹如何用二進位表達負數 — Signed Magnitude、1’s Complement、和 2’s Complement。其中，因為數學計算的關係，2’s Complement 為現今電腦的世界中最主流的方法。
本篇提到 1’s Complement 和 2’s Complement 有利於電腦的計算，關於怎麼加，怎麼依 carry 和 overflow 後處理，就留給下一篇討論了，有興趣的讀者，歡迎先用關鍵字「Binary addition」搜尋看看，那我們就下次見啦！
－2023.08.14。
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