[Graphics] 光源反射向量圖形意義（Vector Reflection）

本篇將以圖形意義說明反射向量計算公式，若有興趣了解 r = d-2(d ∙ n) n 的物理意義的話，歡迎參考看看唷。

計算光源反射向量（Vector Reflection）

最近在寫 Phong Lighting Model[1] 時直接用了內建 API— reflect()[2]，來計算光源碰到平面的反射角。後來想說查一下如果沒有這個 API 的話，要怎麼計算反射向量。於是，查到了這個式子：

r = d-2(d ∙ n) n

看著這個公式，畫著向量在紙上，想不懂為什麼這樣可以算出反射向量。於是花了點時間想了一下反射向量公式的圖形意義，也查到了這篇很棒的示意圖 — Vector reflection at a surface[3]，在這裡筆記起來，若有相同疑問的話，歡迎參考看看唷。

💡 Contents:
1. 反射向量計算公式
2. 物理意義
3. 總結

1. 反射向量計算公式

反射向量計算公式為：

r = d-2(d ∙ n) n

在這邊假設向量都已正規化（normalized），即向量長度都為 1。

反射向量計算公式：r = d-2(d ∙ n) n

2. 物理意義

接下來，用向量的方式來看看這個公式怎麼導出來的吧！

1. 為了方便後面理解，先畫出 d 的反方向 d’，即 d’ = -d。

2. 將 d’ 投影到 n，即圖中 (d’ ∙ n) n。

3. 用向量加法，則可導出紫向量 d + (d’ ∙ n) n，因為向量加法在圖形上的意義是起點連向終點的向量。

4. 把這個向量拉長兩倍，就會延伸如下圖 2(d + (d’ ∙ n) n)。

5. 最後一步了！同樣依向量加法的物理意義，可得反射向量 r = d’ + 2(d + (d’ ∙ n) n)。整理整理之後，就變成網路上查到的反射向量公式啦！

3. 總結

本篇中，我們以向量的圖形意義走過反射向量公式 r = d -2(d ∙ n) n 的由來。雖然現在很多 API 很方便，但了解背後原理的好處是，可以增加一些 sense。有時候比較進階的演算法是從基本的模型變形而來，有事沒事看看背後的原理能增加一些感覺。如果對先前提到的 Phong Lighting Model 的實作有興趣的話，原始碼放在 Github [4]，歡迎參考看看唷。

Reference

1. LearnOpenGL — Basic Lighting
2. reflect — Win32 apps
3. Vector reflection at a surface — Sunshine’s Homepage.)
4. Phong-Lighting — Github

－2024.07.04。

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