게임이론 베이직 (Game Theory Basic) — 제로섬게임(Zero-sum Game)
지난 글에서는 게임이론의 등장배경과 간단한 용어정리를 하였다. 이번 글에서는 게임이론에서 기본이 되는 부분에 대해서 이야기하고자 한다.
앞선 글부터 이어지기 때문에 차근차근 읽는 것을 추천한다.
게임이론은 여러가지 방법으로 분류할 수 있다. 이는 앞선 글에서 분류를 해 놓았다.
다음 분류표에서 먼저 제로섬게임에 대해 알아보자.
제로섬게임은 말 그대로 한 쪽이 이득이면 다른 쪽은 그만큼 손해를 보는 상태를 이야기 한다. 즉 이득과 손실이 같은 게임을 이야기한다. 예를 통해서 좀 더 쉽게 다가가자.
여기 ‘ㅇ'기업이 있다. 그 안에는 A라는 부서와 B라는 부서가 있다. 이들은 본인들의 부서 영익을 위해 예산을 더 많이 가져와야 한다. 하지만 회사 ‘ㅇ'은 이들에게 줄 수 있는 총 예산이 1억 원으로 한정되어 있다.
예를 들어, A 부서가 6천만 원의 예산을 가져가게 되면 B 부서는 4천만 원의 예산을 가져가게 되고, 반대의 상황의 경우에는 각각 4천, 6천만 원이 된다.
평균인 5천만 원을 기준으로 한 쪽의 예산이 늘어나면 그만큼 다른 쪽의 예산이 줄어드는 상황, 즉 제로섬게임 상황에 있다.
다음의 상황은 단순하게 표현한 예시이다. 이에 각 부서는 각각 2 가지 전략을 가져왔다고 가정하고 이야기를 이어나가보자.
다음 표는 게임이론에서 가장 기본적으로 볼 수 있는 ‘이득표'이다. 간단하게 설명하자면 행과 열 측에 각각 게임 참여자를 배치한다. 각 2열, 2행은 이들이 가져온 전략을 나타낸다. 나머지 숫자로 표시가 되어있는 부분은 각 안들의 조합에서 왼쪽은 행측의 이득, 오른쪽은 열 측의 이득을 나타낸다.
다음의 표를 통해서 서로 상충이 가능한 전략을 찾게 된다.
이득표에서 반드시 알아야 할 것은 각 플레이어의 입장에서 모두 봐야 한다는 것이다. 즉, A 부서뿐만 아니라 B 부서의 입장도 살펴봐야 한다는 것이다.
먼저 A 부서의 입장에서 검토를 해보자. B 부서가 제시한 전략은 C, D 두 가지이다. 이 때, C안의 경우 A부서가 1안을 선택하게 되면, 650의 이득을, 2안을 선택할 경우 A 부서는 750의 이득을 얻게 된다. D안일 경우는 각각 550과 350의 이득을 얻게 된다. 따라서 A 부서는 B 부서가 C안을 선택할 경우 2안을 선택하는 것이 가장 유리하다. 하지만, 이것으로는 어느 쪽이 선택이 될 지 알 수 없다.
반대의 경우를 생각해보자. A 부서가 1안을 선택한다면 B 부서는 D안이 100의 이득을 더 보게 되므로 D안을 선택할 것이다. A 부서가 2안을 선택할 경우에도 B 부서는 이득을 더 많이 보게 되는 D안을 선택할 것이다.(바보가 아닌이상 이득이 많이 되는 것을 선택할 것이다.)
이와 같이 상대방의 전략이 어떤 것이든 관계없이 특정한 전략이 다른 전략보다 나은 것을 절대 우위 전략(지배 전략)이라고 부른다. 따라서 게임이론에서는 절대우위를 선택하는 것이 철칙이다.
이 예시를 통해서 알 수 있는 것은 A 부서가 2안을 선택하고 싶어도(가장 이득이 많다) B 부서에서는 D안을 선택할 것이다. 따라서 자연스럽게 A 부서는 1안을 B 부서는 D안을 선택할 것이다.(순차적인 결정이 없다는 가정하에)
따라서 예산은 A 부서에 5500만 원, B 부서에 4500만 원이 배정되며 이것이 이 게임의 균형점을 나타낸다.
방금의 예시는 B 부서에서만 절대우위가 나타나고 있다. 따라서 올바른 판단을 할 수 있다고 볼 수 없다. 절대우위가 두 부서에 모두 있는 숫자로 바꿔서 살펴보자.
다음과 같이 C안과 2안의 이득이 달라졌다. 다음의 경우 A 부서는 B 부서가 C,D전략을 가져와도 1안이 유리하여 1안을 선택하게 된다. B 부서의 경우 A 부서가 1,2안을 가져와도 D안을 선택하게 된다. 이 경우 각 부서는 절대우위 전략을 각각 가지게 되므로 균형점을 1안에 D안이 명확하게 됨을 알 수 있다.
방금의 상황은 절대우위 전략이 존재한다면 그것을 선택한다는 대원칙을 보여주기 위함이다. 이는 제로섬게임과는 관계없이 모든 게임 상황에서 이뤄진다. 하지만 그 이전의 이득표처럼 절대우위 전략이 없는 경우 최적의 전략을 생각하는 방법도 존재한다. 이것을 맥스미니 전략이라고 한다.
맥스미니 전략에서는 그 최저의 이득 중에서 최대가 되는 이득을 얻는 전략을 이야기한다. 반대로 미니맥스 전략은 최대의 손실을 최소화하는 전략을 의미한다. 그리고 이 맥스미니 값과 미니맥스 값이 일치하는 전략의 조합을 안장점이라고 부른다.
다음의 이득표에서는 각 안에 대하여 A 부서는 맥스미니 전략을, B 부서는 미니맥스 전략으로 나타내었다. 이를 통해 A 부서와 B 부서의 값이 550으로 일치하는 것을 볼 수 있다. 이를 통해 안장점을 찾을 수 있게 된다.
지금까지 제로섬게임을 통해서 게임이론을 어떻게 해결하는지 알아보았다. 다음 글에서는 좀 더 구체적인 이야기로 넘어가도록 하자. 게임이론은 방대한 영역에 사용되고 있고, 제로섬게임처럼 통제된 상황에서의 경우는 흔치 않다. 대부분의 경우 비제로섬 게임일 가능성이 높으며, 게임이론에서 유명한 죄수의 딜레마 등 수많은 경우가 많다. 재미있게 글을 이어나가고자 노력하겠다.
