A importância dos números primos

Os números primos são números naturais que tem apenas dois divisores: 1 e ele mesmo o que é essencialmente dizer que ele não tem divisor. Bem, talvez essa seja a definição mais trivial e direta possível para esse conjunto tão peculiar. Pensando um pouco além, podemos imaginar que todos os números pares, ou seja, a metade de todo o universo de números naturais não são primos. Assim como os múltiplos três, quatro, cinco, seis, sete e assim por diante. Talvez depois de tantos divisores, pode parecer que não sobraria tantos números primos. Porém sabemos há muito tempo que existe um número infinito deles embora eles se tornem menos frequentes à medida que encontramos. Na verdade, isso é parte do que fazem esses números tão interessantes. Na verdade bem mais interessantes e importantes do que a maioria imagina.

Voltando ao passado — um resumo histórico

Esses números foram primeiramente estudados pelos antigos matemáticos gregos. Os matemáticos da escola de Pitágoras(500AC-300AC) tinham interesses nas propriedades místicas e numerológicas, tais como números perfeitos¹. Por volta de 300A.C, Euclides mostrou importantes teoremas sobre os números primos, como por exemplo o teorema fundamental da aritmética e sobre a infinitude dos números primos, o teorema de Euclides. Outro grego, Eratóstenes, desenvolveu um método simples, um algoritmo, para calcular números primos na época, denominado de crivo de Eratóstenes.

Após os gregos, houve um longo hiato na história dos números primos, esse período é denominado por muitos como “idade das Trevas”. Os desenvolvimentos mais importantes só vieram ocorrer novamente no século XVII. Em 1640 Pierre de Fermat apresentou o pequeno teorema que leva seu nome, que mais tarde foi provado por Leibniz e Euler. Este último trabalhou na teoria dos números e mostrou que a série infinita tal 1/2+1/3+1/7+1/11 é divergente. Mais tarde, essa série levou a uma nova função conhecida como hoje como Zeta-Reimann. No início do século XIX, Legendre e Gauss conjecturaram de forma independentemente de que quando n tende ao infinito, o número de primos menores ou iguais a n é assintótica para a função n/ln(n). Já no final do século Hadamard e de la Vallée-Poussin, provaram este teorema. Hoje é conhecido como teorema dos números primos.

Números compostos

Como falamos no início do texto, a grande maioria dos números não são primos, a estes chamamos de números compostos, ou seja, todos os números inteiros não primo. Vamos analisar o número 14 e 35. Eles são compostos pois são divisível por mais dois divisores, 14 por 2 e 7 e 35 por 5 e 7. Há uma relação verdadeiramente fascinante entre números primos e compostos que ainda não falei ainda. Cada um dos infinitos números compostos podem ser construídos pela multiplicação dos números primos. Por isso o nome, compostos!

Usando os números já citados, 35 pode ser construído através da multiplicação dos números primos de 5 x 7. O número composto 56 pode ser construído através da multiplicação dos números primos de 2 x 2 x 2 x 7, e assim por diante. O que significa que podemos pensar nos números primos como os blocos de construção fundamentais a partir do qual todos os outros números inteiros positivos são criados! Em matemática, esta ideia é conhecida como o já citado, “teorema fundamental da aritmética.”

O número de Belphegor

Uma pergunta que o não entusiasta pela matemática ou ciência pode estar se perguntando é : Eles servem para alguma coisa? SIM, com letras maiúsculas. Por muitas vezes os matemáticos, cientistas ficam animados com coisas estranhas. E as vezes essa estranheza não tem uma aplicação direta em nossa sociedade de forma pragmática. Porém é bom salientar que matemática e as ciências naturais têm todo o direito de explorar a profundezas de seus mundos sem o viés pragmático. Um número muito curioso é conhecido como primo de Belphegorque é exatamente

1000000000000066600000000000001

Que é um número palíndromo “infernal” formado por : 1 seguido de 13 zeros, seguido por 666 e seguido por mais 13 zeros e terminando com 1. Evidente este número carrega uma abstração de número demoníaco ou mal no ocidente. Porém é simplesmente mais um número.

Projeto GIMPS

Na verdade os últimos números primos descobertos foram encontrados em um projeto voluntário chamando GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Inclusive você pode baixar o aplicativo deles e ajudar eles no processamento dos novos números. O último foi encontrado esse ano e tem aproximadamente 22 milhões de dígitos, ultrapassando o recorde anterior, de 2013, em 5 milhões.

Criptografia

Mas diferentemente do misticismo cultural ou da simples curiosidade, os números primos são fundamentais para a civilização contemporânea.

Entre outras coisas, os números primos são a ideia chave por trás dos sistemas de criptografia modernos. É graças a estes números que é possível que tenhamos segurança em nossas transações financeiras e em sistema de comunicação on-line. Na verdade, a história de como essa criptografia funciona e a matemática por trás disso é muito interessante. Como já mostramos, os primos têm propriedades muito especiais para fatoração. Uma dessas propriedades é que, embora seja relativamente fácil encontrar números primos maiores, é inevitavelmente difícil de levar um grande número de volta para primos. É uma coisa para descobrir que 35 é (7 x 5), e outra bem diferente para descobrir que 2.244.354 é (2 x 3 x 7 x 53437). É outra bem diferente novamente para encontrar os fatores primos de um número cinquenta dígitos.

Esse fato torna primos de vital importância para as comunicações. Os sistemas de criptografia mais modernas usam fatores primos com números primos muito grande. Apesar de encontrar esses fatores ser tecnicamente possível, requer muito, mais muito tempo. Um moderno supercomputador pode necessitar alguns milhões ou talvez bilhões de anos para resolver um problema de fatoração de 256 bits. Por isso a chaves criptográficas, que são números primos dessa fatoração, são tão importantes.

É possível que novas estratégias matemáticas ou um novo hardware, como computadores quânticos, poderiam realizar a fatoração de forma muito mais rápida em números muito grandes. Desta forma quebrar os sistemas de criptografia moderna. Ao pesquisar números primos, os matemáticos estão sempre sendo tanto prosaica e prático. Se (ou quando) computadores quânticos se tornarem uma realidade, eles teriam o potencial de tornar todos os algoritmos clássicos obsoletos, uma vez que algoritmos quânticos poderiam encontrar os fatores de forma muito mais rápida que qualquer sistema clássico conhecido. Essas possibilidades abriram uma nova área de pesquisa muito importante chamada de criptografia pós-quântica. Mas sobre criptografia e seu futuro, deixamos para um outro momento.

1-Um número perfeito é um inteiro N no qual a soma de todos seus divisores(positivos) com exceção dele mesmo é igual a N. Por exemplo 6 é igual a soma de seus divisores(1,2,3), assim 6=1+2+3. Outro exemplo é o número 28=1+2+4+7+14.

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Referencias e leituras

University of St Andrews: Mactutor History of mathematics archive

Mathworld wolfram: Prime Number

Números Primos — Velhos Mistérios e Novos Recordes

Teoria dos números: Um passeio com primos e outros números familiares. F. Martinez, C. Moreira,Nicolau Saldanha E.Tengan

mersenne.org :Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS

Quick And Dirty Tips: what are prime and composite numbers ?

Geek.com: Geek answers why should we care about prime numbers