讀書心得 — 底層邏輯2 (二)
帶你升級思考，挖掘數字裡蘊含的商業寶藏
指數和冪 — 在非線性世界獲得成功的秘訣
《新約·馬太福音》裡有這樣一段表述：“凡有的，還要加給他，叫他有餘；凡沒有的，連他所有的也要奪去。”這就是著名的馬太效應。天啊，這也太不“仁慈”了吧？少的人，你還要從他身上把所有的都拿走；多的人，你還要額外地給他？這一定會導致窮者愈窮、富者愈富吧？
《新約·馬太福音》和《道德經》裡說的“多者更多，少者更少”，就是指數增長的傑作。
指數增長還有一個孿生弟弟叫“冪律分佈”。指數增長是原因，冪律分佈是結果。什麼是指數？什麼是冪？我們看一下這個算式：
在這個算式裡，3是“指數”，8是“冪”，而2是“底數”。
指數增長：為什麼一分耕耘不能獲得一分收穫。
前後關聯：把昨天的收穫連本帶利地變成今天的本金。前後關聯就是指數增長的秘密。
什麼是前後關聯？
我們重新看一下達依爾提的要求：每一格裡麥子的數量都比前一格增加一倍。這個要求，翻譯成數學語言就是：小麥棋盤 後一格=前一格×（1+100%）。
所以，如何才能獲得指數增長？建立每一步之間的前後關聯，從而把昨天的收穫連本帶利地變成今天的本金。
前後關聯，是獲得指數增長的數學基礎。理解了這一點，我們才能理解《道德經》和《新約·馬太福音》裡所說的“多者更多，少者更少”現象。為什麼？因為商業世界中，每個人擁有的生產要素都不一樣。在這些生產要素中，有些有天然的前後關聯屬性（小麥棋盤型），而另一些則沒有（智商棋盤型）。
生產要素：為什麼再努力財富機會都不均等
GDP的增長源自“三駕馬車”：投資、消費和淨出口。但是，投資、消費、淨出口其實只是財富創造的統計口徑。真正推動增長、推動財富創造的，是勞動力、土地、資本、科技、數據這五大生產要素的充沛供給和有效使用。
你會發現，勞動力在數學意義上的弱前後關聯性，以及資本在數學意義上的強前後關聯性，必然導致財富向資本方集中。在沒有非市場化因素幹預的情況下，貧富差距一定會越來越大。但是，還有一個生產要素比資本具有更強的數學意義上的前後關聯性，那就是科技。在科技行業，這個數學意義上的前後關聯性被稱為“飛輪效應”。
資本、科技、數據帶來了個人財富的指數增長，帶來了全球經濟的持續繁榮，但同時也帶來了貧富差距的擴大。這幾乎是必然的，因為指數增長的反面是冪律分佈。
冪律分佈：選對賽道是成功的關鍵
什麼是冪律分佈？
我們回到最開始的指數公式：
有A、B、C三個人，其中，A增長的前後關聯性是0，他是純粹的勞動者；B增長的前後關聯性是20%，他是一個投資人；C增長的前後關聯性是80%，他是一位科技大佬。如果這三個人都以“1”為起點，同樣奮鬥20年，猜猜看，他們創造財富的能力最終會差多少？
在這個算式組裡，算式右邊的三個數（1，38.34，127482.36）就是冪。這三個人掌握的生產要素不同，雖然奮鬥同樣的時日（也就是“指數”相同），他們的財富總額（也就是最後的“冪”）卻有著天壤之別。
在指數增長的長期作用下，遊戲參與者所擁有的籌碼差距越來越大，從而導致極度不平均。
指數增長和冪律分佈其實就是一體兩面，是一件事情。但是，指數增長這一面會帶來經濟增長，冪律分佈這一面會帶來貧富差距。
而作為個人，作為創業者，當你面對一體兩面的指數增長和冪律分佈時，應該怎麼辦呢？你要做的最重要的事情就是選擇賽道。
選擇賽道
理解了數學裡的指數和冪之後，你才會明白，“打打殺殺”都是小事；選擇在哪裡“打打殺殺”，才是大事。
跨越奇點：長期主義的本質
在這個奇點之前，農民如果沒有其他的食物來源，是會餓死的。可一旦過了這個奇點，農民就能獲得難以想像的收益。農民的奇點與收益變化如圖4–6所示。
尋找前後相關性突出的商業模式
我們說過，指數增長背後的數學邏輯是前後相關性，而前後相關就是“小麥棋盤”公式裡的“增長因數”。後一年=前一年×（1+20%）
《指數型組織》給出了一個指導意見：4～5年收入翻10倍。4～5年收入翻10倍，意味著年增長率在60%～80%，而且是連續的。這個增長率只可能來自資本和科技，而不會是勞動力。
做時間的朋友，等待奇點到來
獲得指數增長的關鍵是耐心。要堅持做正確的事情，做時間的朋友。
人們用很多說法來勸誡你要有耐心，比如長期主義，比如做時間的朋友，比如複利效應，比如增強迴路，比如飛輪效應，比如馬太效應，比如長坡厚雪。
這個世界，從來都不是“一分耕耘，一分收穫”。“多者更多，少者更少”，才是世界的正常狀態。
方差與標準差 — 理解群體的差異性，管理更高效
過河不能問“平均”，只能問“最深”。
量化差異性，讓管理變簡單
方差是非常好的用來衡量數據差異性的工具。但是，因為計算方差的過程有“平方”的操作，所以，方差和原數據已經不是一個單位了。如果原數據的單位是“元”，那方差的單位就是“平方元”了；如果原數據單位是“千克”，那方差的單位就是“平方千克”；如果原數據單位是長度單位，那方差的單位就變成面積單位了。因此，雖然方差能顯示差異性，但是我們無法在方差和原數據之間進行進一步分析和計算。
標準差，就是方差的平方根。
在實際應用中，標準差的使用場景遠遠多於方差。
比如，在正態分佈中常使用標準差。
縮小該縮小的差異性
所謂“質量”，就是標準差；而所謂“質量高”，就是標準差小。
所以，什麼樣的產品質量更高？標準差更小的產品質量更高。因為標準差越小，產品質量越穩定；產品質量越穩定，產品質量也就越高。
縮小產品的標準差，是創業者永恆的課題。
其實，不僅產品如此，個人也是如此。什麼樣的人“質量”更高？標準差更小的人，“質量”更高。
員工也一樣。有時候，我們會說某個員工“很靠譜”。什麼叫靠譜？靠譜指的也是標準差小。
領導也一樣。英文中有一個詞叫“Predictable”（可預測的），它是評價管理者的一個重要標準。我們說一個管理者“Predictable”，指的是員工總能預測老闆的決策。
如果你理解了質量的數學本質是標準差，你就會自然而然地明白：提高質量只有一個辦法，那就是持續改進。
標準差控制到什麼程度才叫“好”呢？我們通常用DPPM（Defective Parts Per Million，百萬不良數）來衡量標準差控制的好壞，如表5–8所示。
全球最知名的持續改進方法是六西格瑪管理（Six Sigma Management）。六西格瑪管理的核心是一套被稱為“DMAIC”的管理工具。
“DMAIC”是五個英文單詞的縮寫。
D（Def ine，定義）：定義質量問題。
M（Measure，測量）：收集有關質量問題的測量數據。
A（Analysis，分析）：分析數據，發現導致問題的主要原因。
I（Improve，改進）：針對原因進行改進。
C（Control，控制）：監控改進結果，不斷循環。
擴大該擴大的差異性
中文是“多樣化”。從本質上來說，多樣化就是有差異性。差異性可以激勵產生創造力。
在微軟有一個原則：上下三級不能來自同一所學校。比如我是南京大學畢業的，如果我的上級也是南京大學畢業的，那麼，我在招聘時就要儘量避開南京大學的畢業生。
用基尼係數激發員工鬥志
企業在文化、知識結構、性別上要儘可能地擴大差異性，那麼，在薪酬上應該儘量縮小差異性還是擴大差異性呢？
這就涉及有關差異性的另一個著名概念 — — 基尼係數。
很多人都聽說過基尼係數，知道基尼係數是用來衡量一個國家的貧富差距的，但是他們或許沒有想過，基尼係數也可以用來衡量公司內部的“貧富差距”。
基尼係數是由義大利學者柯拉多·基尼（Corrado Gini）在1912年提出的。基尼係數是一個介於0～1的數，一個國家的基尼係數越接近0，這個國家的財富越平均；越接近1，財富越集中。可是，既然這個指標是用來衡量“差距”的，為什麼不用我們前面講過的方差或者標準差，而是發明一個新概念呢？因為方差、標準差無法比較兩個差異性很大的組織之間的差異性。
當兩個組織在人數、基本收入的數量級等各方面都有很大差異時，標準差很難衡量這組數據的差異性。這時，基尼係數就可以發揮其價值了。
基尼係數低於0.3是有問題的，低於0.2是危險的，但員工收入的貧富差距大、內部相對差異性大（基尼係數為0.4～0.6），甚至差距懸殊（基尼係數為0.6以上），同樣是危險的，因為過大的貧富差距會自然而然地造成階層對立。員工會罵老闆“吸血”，消極怠工；老闆會覺得員工不努力，必須嚴管。
概率與統計 — 看清創業的真相，依然熱愛創業
雖然我們熱愛確定性，但是這個世界是由隨機性、不確定性、風險和運氣構成的。不能正確理解概率與統計，就不能正確理解這個世界。
概率是針對個體的概念，用來衡量一件事情將要發生的可能性的大小。
統計是針對群體的概念，用來計量一群樣本滿足條件的比率的大小。
要用概率與統計看清創業的真相，就要透徹理解以下三個重要概念：數學期望、大數定律和條件概率。
大數定律
就像“指數增長”和“冪律分佈”是一體兩面一樣，數學期望和大數定律也是一體兩面。
當你投了10個、100個甚至1000個項目後，會發現這些“個體的不確定性”已經被逐漸抹平了，而“群體的確定性”慢慢浮現出來。最後，1000個項目的平均收益是無限接近數學期望的。這就是大數定律。
大數定律是概率論史上第一個極限定理，由著名數學家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）提出。這個定理的表述有點拗口：隨機變量序列的算術平均值，向各隨機變量數學期望的算術平均值收斂。
大數定律指的是：如果擲硬幣得到正面的概率是50%，那麼，擲的次數越多，正面朝上的硬幣出現的次數就越接近一半。
平均收益率越來越接近數學期望。大數定律使個體的不確定性被轉化為群體的確定性。
用條件概率提高成功的可能性
所謂高手，就是把自己活成貝葉斯定理
貝葉斯公式:
貝葉斯定理是條件概率的一個非常重要的推理。真正的高手每天都在用貝葉斯定理不斷覆盤、改進自己的流程，從而總結出那些“大概率會帶來成功的事情”，也就是“正確的事情”，然後通過重複做這些正確的事情。
利用統計識別商業謊言
這三個統計謬誤是基本比率謬誤、辛普森悖論和倖存者偏見。
1. 基本比率謬誤
即使是最基本的統計方法，也有可能存在謬誤。例如在統計方法中，對於分子大家都沒有異議，但是對於分母，可能的看法就不一樣了。統計市場份額這樣一個看上去再簡單不過的統計問題，都有可能出現謬誤。彼此定義不清，導致基本比率各說各話的繆誤。
2. 辛普森悖論
問題到底出在哪裡？出在分組策略上。某些特定的分組策略確實有可能導致“在總評中弱勢的一方在分組比較中反而佔優勢”這種情況的出現。
3. 倖存者偏見
我們能看到的只有倖存者，所以，我們總是習慣於從倖存者身上總結特徵，這就容易犯以偏概全的錯誤。所有成功的企業家都是商業世界的倖存者，只學習這些倖存者是不可能得出正確結論的。要想找到真正的成功秘訣，你應該在全部樣本中抽樣統計，去採訪一下那些創業失敗的人。
博弈論 — 找到“最優解”，成為最後的贏家
想要理解博弈論，你至少要理解三個基本概念：收益矩陣、佔優策略、納什均衡。
1. 收益矩陣
收益矩陣有很多名字，比如支付矩陣、報酬矩陣、贏得矩陣、得益矩陣，
2. 佔優策略
佔優策略，又稱優勢策略、支配性策略，它指的是這樣一種策略：如果你採取行動，我會佔據優勢；如果你不採取行動，我也會佔據優勢。無論如何，兩次我都能佔據優勢。
3. 納什均衡
什麼是“納什均衡”？簡單來說，納什均衡就是一種博弈的“穩定結果”，誰單方面改變策略，誰就會受到損失。納什均衡是一個最穩定的狀態，但不一定是好的狀態。穩定在好的狀態上的納什均衡，是“好的納什均衡”；穩定在不好的狀態上的納什均衡，是“壞的納什均衡”。
附錄A 對話吳軍：每個人都要有數學思維
下麵我給你介紹五種數學思維，這五種數學思維讓吳軍老師和我都受益匪淺。
1. 第一種數學思維源於概率論，叫作“從不確定性中找到確定性”。
假如一件事情的成功概率是20%，是不是意味著我重複做這件事5次就一定能成功呢？很多人會這樣想，但事實並不是這樣。如果我們把95%的概率定義為成功，那麼，這件20%成功概率的事，你需要重複做14次才能成功。換句話說，你只要把這件20%成功概率的事重複做14次，你就有95%的概率能做成。如果你要達到99%的成功概率，那麼你需要重複做21次。
2. 第二種數學思維源於微積分，叫作“用動態的眼光看問題”。
牛頓發明瞭微分，用“無窮小”這種概念幫助我們把握瞬間的規律。而積分跟微分正好相反，它反映的是瞬間變量的積累效應。理解了微積分，你看問題的眼光就會從靜態變為動態。加速度累積，變成速度；速度累積，變成位移。
如果你理解了微積分的思維方式，能夠用動態的眼光來看問題，你就會慢慢體會到，努力需要很長時間才會得到認可，你會因此擁有平衡的心態，避免犯這樣的錯誤。
從本質上來說，微積分的思維方式就是用動態的眼光看問題。一件事情的結果並不是瞬間產生的，而是長期以來的積累效應造成的。出了問題，不要只看當時那個瞬間，只有從宏觀一直追溯（求導）到微觀，才能找到問題的根源。
3. 第三種數學思維源於幾何學，叫作公理體系。
什麼是公理體系？舉個例子，幾何學有一門分科叫歐幾裡得幾何，也被稱為歐氏幾何。歐氏幾何有五條最基本的公理：
（1）任意兩個點可以通過一條直線連接。
（2）任意線段能無限延長成一條直線。
（3）給定任意線段，可以以其一個端點為圓心，該線段為半徑作圓。
（4）所有直角都相等。
（5）若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。
一家公司的願景、使命、價值觀，就相當於這家公司的公理。公理直接決定了這家公司的各種行為往哪個方向發展。所有規章制度、工作流程、決策行為，都是在願景、使命、價值觀這些公理上“生長”出來的定理，它們構成了這家公司的公理體系。
而這個體系一定是完全自洽的。什麼叫完全自洽？這指的是，一家公司一旦有了完備的公理體系，就不需要老闆來做決定了，因為公理能推導出所有的定理。不管公司以後如何發展，只要有公理存在，就會演繹出一套能夠解決問題的新法則（定理）。
公理沒有對錯，不需要被證明，公理是一種選擇，是一種共識，是一種基準原則。制定不同的公理，就會得到完全不同的公理體系，並因此得到完全不同的結果。
4. 第四種數學思維源於代數，叫作“數字的方向性”。
在數學上，我們把有方向的數字叫作向量。數其實是有方向的。做同一件事情，有的人想往東走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你並不知道哪個方向是正確的。這時，你想要的不是合力的大小，而是方向的相對正確性。
5. 第五種數學思維源於博弈論，叫作“全域最優和達成共贏”。
什麼是博弈論？我們每天都要做大大小小的決策，比如，今天是喝咖啡還是喝茶就是一個決策。但這個決策只跟自己有關，並不會涉及別人。而在生活中，有一類決策涉及別人的決策邏輯，我們把它叫作博弈論。
在零和博弈中，你要一直保持清醒：你要的是全域的最優解，而不是局部的最優解。除了零和博弈，還有一種博弈，叫作非零和博弈。非零和博弈講究共贏，共贏的前提是建立信任，但建立信任特別不容易。
這五種數學思維 — — 從不確定性中找到確定性、用動態的眼光看問題、公理體系、數字的方向性，以及全域最優和達成共贏，我希望你能看懂，並且將其運用到你的工作和生活中。
附錄B 五道微軟面試題
這五道題是：
（1）有三個連續的、大於6的整數，已知其中兩個是質數，求證第三個數能被6整除。
（2）有兩個骰子，每一個骰子都是六面正方體，每一面上只能放0～9中的一個數字，這兩個骰子如何組合才能達到顯示日曆的效果（從01～31）？
（3）昨天，我在早上8點開始爬山，晚上8點到達山頂。睡了一覺後，今天，我在早上8點開始從山頂原路下山，晚上8點到達山腳。請問，有沒有一個時刻，昨天的我和今天的我站在同樣的位置？
（4）上海有多少輛自行車？
（5）如何用兩個指針判斷一個鏈表是否有環？
