Pi(π) Sayısı Nasıl Hesaplanır?
Pi Sayısı (π) Nedir?
Geometri ve matematik derslerinden hatırlayacağınız üzere bir dairenin alan veya çevre bilgisine ulaşmak için kullandığımız özel bir sayı vardı.
Pi sayısı(π)…
Pi sayısı bir dairenin çevre uzunluğunun o dairenin çapına oranıdır. Bir dairenin çevresini hesaplamak için kullanılan formül: Ç = 2*π*r ‘dir. 2*r, r yarıçapı belirttiği için çapın uzunluğunu verir. Ç/2r = π’dir.
Eski Mısır ve Babil’den beri kullanıldığı bilinen kadim sayı pi sayısının, 1761 yılında Johann Heinrich Lambert tarafından irrasyonel bir sayı olduğu kanıtlandı. İrrasyonel sayılar kısaca a/b şeklinde yani iki sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Gerçek sayılar kümesinde rasyonel sayıların dışında kalan sayılardır.
Lise çağlarımızda basitce 3,14 olarak kullandığımız pi sayısının sonsuz basamağı bulunuyor. Pi sayısının virgünden sonraki ilk 2 basamağını (3,14) Siraküzalı Arşimet MÖ 250'de hesaplarken İlk 4 basamağını ise İskenderiyeli Batlamyus MÖ 150'de hesapladı. Daha sonra 1424'te ilk 16 haneyi bulan İranlı Gökbilimci El-Kaşi rekorunu 2 yüzyıl boyunca elinde tutmayı başarmış.
İlerleyen yıllarda hem gelişen teknoloji hem de biriken bilgi sermayesinin etkisiyle daha fazla basamak hesaplanabilmiş. Süper bilgisayarların gelişmesi de pi sayısının henüz keşfedilmemiş basamaklarını keşfetmek için biçilmiş kaftan niteliğinde.
2016 yılında İsviçreli Peter Trueb süper bilgisayarlar ile pi sayısının 22.459.157.718.361'inci basamağına kadar hesaplayabilmişti. Bundan yalnızca 5 yıl sonra 2021'de, İsviçreli bir grup araştırmacı pi sayısının ondalık değerini 62,8 trilyon basamağa kadar hesaplayarak Trueb’in dünya rekorunu kırdılar.
Bu alandaki dünya rekoru hala o bir grup araştırmacıya ait. Süperbilgisayarlar kullanılarak yapılan bu araştırma yaklaşık 108 gün sürmüş.
Pi Sayısını Eldeki İmkanlarla Hesaplamak
Pi sayısının yaklaşık değeri bir çemberin etrafına ve içine çizilen iki çokgenin çevresi bulunarak hesaplanabilir. Arşimet de bu yöntemi kullanmıştı.
Bu yöntem dairenin içinde yer alan çokgenin çevresinin dairenin çevresinden kısa olduğunu, dairenin dışında yer alanın çevresinin ise dairenin çevresinden uzun olduğunu söyler. Dolayısıyla dairenin çevresi bu iki çokgenin çevre uzunlukları arasında bir değerdir.
İçerideki çokgenin çevresi< dairenin çevresi < dışarıdaki çokgenin çevresi
Yukarıda yer alan iki şekilde dairenin çapının 1 birim olduğunu varsayalım. Veya çapı 1 birim olan bir daire çizdiğimizi düşünelim. Bu durumda 2πr formülünden dairenin çevresi π bulunacaktır. Peki π’nin değeri nedir?
Geometri kuralları kullanılarak yapılan hesaplamalarla dışarıda yer alan karenin çevresi 4 birim, içeride yer alan karenin çevresi ise yaklaşık 2,82 birim bulunur. Böylece pi sayısının 2,82<π<4, 2,82 ile 4 arasında bir sayı olduğunu tahmin ederiz.
Altıgen kullanılarak hesaplanan ikinci şekilde yine geometri kuralları kullanılarak içteki altıgenin çevre uzunluğunun 3 birim dıştakinin ise yaklaşık 3,46 birim olduğu bulunur. Böylece π değerinin 3 ile 3,46 arasında bir sayı olduğu bulunmuş olur.
Dikkat edeceğiniz üzere kullanılan çokgenin kenar sayısı arttıkça daha doğru bir tahminde bulunma olasılığımız artmaktadır. Arşimet de hesaplamalarında altıgen ile başlamış ve çokgenin kenar sayısını arttırarak 3,14 sayısına kesin olarak ulaşmıştır.
Pi sayısının değeri daha birçok yöntemle hesaplayabiliriz. Bunlardan birkaçı:
- Gregory-Leibniz serisi
- Nilakantha serisi
- Buffon’un İğne Problemini Kullanmak
- Limit Kullanarak Hesaplamak
- Ters Sinüs Fonksiyonunu Kullanmak
