離散餘弦轉換（Discrete Cosine Transform，DCT）簡介
與傅立葉轉換（Fourier Transform）類似，但只使用實數做運算，同樣可將影像轉換至頻率域（Frequency domain），便可觀察這張影像的紋理狀態。
前言
之前文章中提到過傅立葉轉換（Fourier transform），FT 的算法中包含複數運算，其運算複雜度和存儲所需的空間都超過實數運算。
為了簡化前述計算過程，在 1974 年，由 N. Ahmed, T. Natarajan, K.R. Rao 等人提出離散餘弦轉換（Discrete Cosine Transform），改以實部運算代替 FT 中的虛部運算，藉此達到簡化目的，且轉換後的效果更好。
因此常被應用於信號和圖像處理，可將從前密度均勻的時間域或空間域資訊分佈，變換為密度不同的頻率域資訊分佈，也就可對數據進行有損壓縮。
離散餘弦轉換
假設我們有一張影像是N * N，在座標 (x, y) 的灰階值為 f(x, y)，則 DCT 公式如下：
D(i, j) 是頻率域（Frequency domain）上位於影像 ( i, j ) 位置的頻率係數值。DCT 也和 FT 一樣有反函數，IDCT （Inverse DCT），公式如下：
轉換後的頻譜圖能判斷紋理方向及強弱，實際對應到圖像上的分區如下：
實作應用
透過 python 的 Open-CV 可將影像轉換頻率域，再透過遮罩的手法就可以把高頻的像素濾除，我以這張圖為範例：
經過下方的 code 將上方這張原圖轉換為頻譜，並且用遮罩過濾高頻後，再做 IDCT 轉換回圖像，以下是結果：
從上方兩張圖可以看出，DCT 相較 FT 來說，具有更好的「能量集中」特性，經過 DCT 轉換的頻率資訊會集中在低頻部分（以影像來說就會是左上角）。接著我用長寬 1/5 的遮罩保留頻譜左上角的低頻資訊，再使用反函數（IDCT）將過濾後的頻譜輸出為右下角圖像，出現些微白點、影像灰階也比較明顯一點，但基本上不影響人眼判斷其資訊，可見人眼是低通濾波器。
生活中最明顯的例子就是我們日常用的 JPEG 影像格式，其中對於影像進行有損壓縮的環節便是採用 DCT。因為對於人眼而言，影像的低頻部分資訊量是大於高頻部分的。因此刪除高頻資訊，對於人眼視覺所能辨別的資訊量來說，損失是非常少的，但可大幅減少資料傳輸量。以下是我實作的 code，有興趣可以調整遮罩那邊的大小或乘上的係數，都會對最終做完 IDCT 產生一些影響。
