Wordle & Nerdle (2)

Nerdle 的遊戲目標跟Wordle相似，惟答案是一條8個字元的方程式，適用字元有15個 (0123456789+-*/=)，有關方程式的限制如下：

1. 有且只有1個等號
2. 先乘除後加減
3. 所有數字都是非負整數 (即自然數及0)
4. 等號右邊只有1個非負整數，沒有任何運算
5. 即使等號右邊維持不變，等號左邊調換某個運算順序後仍會被視為不同的方程式，例如20+10=30和10+20=30

假設A,B,C,D皆為自然數，A,AA,AAA分別為1,2,3位數，以下列舉方程式可能出現的28種組合 (如有遺漏歡迎補充)：

1. A+B+C=DD
2. A+B-C=DD
3. A-B+C=DD
4. A*B+C=DD
5. A+B*C=DD
6. A*B-C=DD
7. A*B*C=DD
8. A*B/C=DD
9. A/B*C=DD
10. A*B-CC=D
11. AA+B-C=D
12. A+BB-C=D
13. A-B+CC=D
14. AA-B+C=D
15. AA-B-C=D
16. AA-B*C=D
17. AA-B/C=D
18. AA/B+C=D
19. AA/B-C=D
20. AA/B*C=D
21. AA/B/C=D
22. AA+BB=CC
23. AA-BB=CC
24. AA*B=CCC
25. A*BB=CCC
26. AAA/B=CC
27. AAA/BB=C
28. AAA-BB=C

由上述組合可知，一條方程式通常包括3–4個自然數，而且最多只能包括1個3位數。另外，等號的位置會直接提示等號右邊是幾位數，只有在等號左邊作乘法運算時等號右邊才有機會出現3位數，因此作答時不妨先假設等號右邊是1–2位數，到後期真的行不通才考慮3位數的可能性。

第1次答題的策略並不複雜，只需包括8個不同字元及2種不同的運算便可，先試有無再試重複，例如2*3+4=10。由第2次答題開始因應已獲得的提示調整作答即可。

以下將探討可能的方程式組合總數。

由於方程式的頭尾必為數字 (第1及8個字元)，連接等號的2個字元也必為數字 (至少為第6–8個字元)，因此加減乘除只會出現於第2–5個字元。若不考慮方程式是否成立，可能的方程式組合數有 10*14*14*14*15*11*11*10=498,036,000。當加入上述28種方程式組合的限制，並且考慮等號左邊的運算只能得出唯一解後，可能的方程式組合數有10P3*11+10P4*15+10P5*2=144,000。如果進一步排除包含首位為0的多位數、除以0及等號右邊不符合格式的方程式，可能的方程式組合數將大幅減少，估計不多於20,000個。

參考資料：

1. Nerdle
https://nerdlegame.com/