Mudando as concepções de matemática e infinito nas obras vernáculas e latinas de Giordano Bruno (2021)
Uma tradução do artigo Changing conceptions of mathematics and infinity in Giordano Bruno’s vernacular and Latin works de Paolo Rossini para jornal Science In Context.
Discussão
O objetivo deste artigo é fornecer uma análise da concepção de matemática de Giordano Bruno. Especificamente, pretende destacar dois aspectos desta concepção que foram negligenciados em estudos anteriores. Primeiro, a concepção de matemática de Bruno mudou ao longo do tempo e em paralelo com outro conceito central em seu pensamento: O conceito de infinito. Especificamente, Bruno empreendeu uma reforma da matemática para acomodar o conceito de infinitamente pequeno ou “minimum”, que foi introduzido numa fase posterior. Em segundo lugar, ao contrário do que afirmava Héléne Védrine, Bruno acreditava que os objetos matemáticos dependiam da mente. Para traçar o desenvolvimento paralelo das concepções de matemática e de infinito, considera-se um período de sete anos, desde a publicação do primeiro diálogo italiano de Bruno (La cena de le ceneri, 1584) até a publicação de uma de suas últimas obras latinas (De minimo, 1591).
Introdução: O “obstáculo realista” para a matemática de Bruno
Giordano Bruno (1548–1600) deve sua reputação à sua cosmologia infinitista. Na verdade, Bruno é conhecido como o “filósofo do infinito” e, adicionalmente, como um herege impenitente devido à sua morte nas mãos da Inquisição Romana. O que é menos conhecido é que Bruno imaginou não apenas o infinitamente grande — o universo ilimitado — mas também o infinitamente pequeno — o que ele chamou de minimum; e que passou os seus últimos anos a desenvolver uma “geometria atomística” baseada no conceito de minimum. Discutivelmente , o motivo pelo qual a matemática de Bruno passou despercebida é porque mesmo os estudiosos de Bruno têm lutado para lhe dar sentido. Embora a ideia de quantidades infinitamente pequenas desempenhasse um papel crucial no desenvolvimento da matemática do século XVII (levando à invenção do cálculo infinitesimal), Bruno parecia incapaz de converter esta ideia numa doutrina matemática aceitável, provavelmente porque lhe faltavam as competências técnicas para fazer isso. Além disso, Hélène Védrine (1976) sugeriu que o fracasso matemático de Bruno também se devia à sua crença na existência real de objetos matemáticos na natureza, uma crença que constitui o núcleo da visão filosófica conhecida como “realismo matemático” ou “realismo platônico” (ver Miller 2016). Por esta razão, Védrine falou de um “obstáculo realista” que dificultava a matemática de Bruno.
Tentativas recentes de compreender melhor a vida e a obra de Bruno levaram a uma reavaliação do seu pensamento matemático. Giovanni Aquilecchia (1993) foi o primeiro a apelar a uma nova abordagem à matemática de Bruno baseada numa análise cuidadosa das suas fontes, da sua agenda filosófica e das circunstâncias históricas sob as quais ele veio a elaborar a sua geometria atomística. Além disso, Aquilecchia deve ser creditada pela descoberta de dois dos primeiros escritos matemáticos de Bruno (os diálogos na bússola de Fabrizio Mordente, Bruno [1586] 1957) que permaneceram desconhecidos até a década de 1950. Na década de 2000, os escritos descobertos por Aquilecchia serviram de base para a monografia de Luciana De Bernart sobre a matemática de Bruno (De Bernart 2002). Para De Bernart, os críticos de Bruno cometeram o erro de ler os seus escritos matemáticos através das lentes da sua própria concepção de matemática, embora fossem melhor compreendidos no contexto da prática matemática da Renascença. Isto foi confirmado pelos diálogos sobre a bússola de Mordente em que Bruno tentou dar uma explicação teórica para o uso do instrumento inventado pelo seu conterrâneo.
Alguns anos antes de De Bernart, Angelika Bönker-Vallon desenvolveu novas perspectivas sobre a matemática de Bruno, analisando-a do ponto de vista da sua metafísica (Bönker-Vallon 1995) [1]. Da mesma forma, os colaboradores do volume editado por Heipcke, Neuser e Wicke (1991) abriu o caminho para uma nova compreensão da matemática de Bruno, dissipando preconceitos de longa data sobre a natureza derivada da geometria atomística de Bruno, entre outras coisas. Também digno de atenção é que, já na década de 1920, Ksenija Atanasijević havia oferecido um relato detalhado do trabalho matemático mais importante de Bruno em sua La doctrine métaphysique de Bruno exposée dans son ouvrage De triplici minimo (The Metaphysical and Geometrical Doctrine of Bruno As Given in His Work De triplici minimo (Atanasijević [1922] 1972). Apesar da interpretação de Atanasijević ter sido influenciada pela sua tentativa de mostrar que Bruno foi um precursor do filósofo sérvio Branislav Petronijević (1875–1954), o seu livro merece uma menção especial pelo fato de ter sido escrito numa época em que os estudiosos demonstravam muito pouco interesse pela matemática de Bruno.
Apesar desses desenvolvimentos, Bruno continua a ser considerado um péssimo matemático [2]. O objetivo deste ensaio é desafiar esta visão aceita, traçando a evolução da concepção de matemática de Bruno. Afirmo que tanto em suas obras vernáculas quanto em latinas Bruno defendeu a ideia de que os objetos matemáticos eram dependentes da mente, ritmo Védrine. No entanto, isto não aconteceu à custa da fé de Bruno no poder explicativo da matemática, uma vez que utilizou repetidamente conceitos e imagens matemáticas nas suas descrições da natureza, embora não de uma forma quantitativa. A única exceção a esta regra foi a astronomia matemática, uma vez que Bruno contestou que a matemática pudesse capturar a causa física dos fenômenos astronômicos e era contra o uso de dispositivos explicativos, como orbes. Mas, novamente, isto foi uma consequência da descrença de Bruno na existência de objetos matemáticos fora das nossas mentes. Uma segunda afirmação deste artigo é que a evolução da matemática de Bruno esteve relacionada com os acréscimos que ele fez à sua teoria do infinito, nomeadamente a introdução do conceito de minimum. Na minha opinião, foi para transformar o minimum em objeto matemático que Bruno iniciou uma reforma da matemática.
Para ser claro, este artigo discute duas versões do realismo matemático:
(1) A visão de que os fenômenos físicos podem ser explicados em termos matemáticos [3].
(2) A visão de que os objetos matemáticos têm uma existência separada da nossa mente.
Discutirei que Bruno aceitou (1), mas não (2). Para mostrar como as negociações de Bruno entre essas duas versões do realismo matemático interagiram com a introdução do minimum, examinarei três obras: La cena de le ceneri (Bruno [1584] 2018); Acrotismus camoeracensis (Bruno [1588] 1879a); e De minimo (Bruno [1591] 1889b). Particularmente, focarei nas implicações cosmológicas e matemáticas da discussão de Bruno sobre o infinito nestas três obras. No entanto, o leitor deve estar ciente de que o conceito de infinito tem uma longa história que atravessa diversas disciplinas, incluindo a teologia. Especialmente na época de Bruno, defender uma visão infinitista do universo era visto como um ataque ao status quo religioso, dada a dependência da fé cristã do sistema aristotélico-ptolomaico. Sem mencionar as alegações de Pierre Bayle (1697) que viu em De la causa, principio et uno (On Cause, Principle and Unity; Bruno [1584] 1998), de Bruno, o arquétipo do panteísmo de Spinoza. Além disso, os estudos recentes de Amir Alexander (2014) indicam que o infinitamente pequeno também era visto como um conceito problemático por autoridades religiosas como os jesuítas, que temiam as suas implicações políticas e sociais para o futuro da monarquia e da hierarquia da Igreja. Está além do escopo deste artigo lidar com as questões teológicas levantadas pela concepção de infinito de Bruno. No entanto, estas questões devem ser tidas em conta, caso contrário corremos o risco de perder de vista o contexto histórico em que Bruno viveu e operou e subestimar assim a complexidade do seu pensamento.
1. Realismo vs. instrumentalismo em La cena de le ceneri (1584)
Ernan McMullin afirmou que “chamar Bruno de ‘Copernicano’ exige que se esvazie o rótulo de todo o conteúdo, exceto a afirmação de que a Terra e os planetas se movem ao redor do Sol” (McMullin 1987, 64). McMullin notou, em particular, como Bruno parecia incapaz de compreender aspectos importantes da teoria copernicana, especialmente quando se tratava de questões técnicas. Um exemplo é fornecido pela explicação que Bruno deu em La cena de le ceneri (The Ash Wednesday Suppers, 1584) do diagrama copernicano que mostra a posição dos planetas no sistema solar (Figura 1). A questão em jogo era a posição da Terra em relação à Lua. De acordo com Torquato, um dos dois professores de Oxford com quem Bruno (ou melhor, seu personagem fictício) conversou sobre a teoria copernicana, Copérnico colocou a Terra na terceira esfera, com a Lua carregada em torno dela num epiciclo. Pelo contrário, Bruno pensava que a Terra e a Lua estavam localizadas no mesmo epiciclo (Bruno 2018, 161–65).
Apesar de que em La cena Torquato tenha sido forçado a admitir que estava errado, foi Bruno quem errou. Em resposta, os estudiosos tentaram justificá-lo sugerindo causas externas para a sua má compreensão da teoria copernicana. Frances Yates propôs que Bruno estava lendo Copérnico de uma forma hermética, o que o levou a ver o diagrama copernicano mais como um “hieróglifo” do que uma representação real do sistema solar (Yates 1964, 241) [4]. Mais recentemente, Dario Tessicini demonstrou que a visão de Bruno de que a Terra e a Lua estavam no mesmo epiciclo poderia ser rastreada até a crença pitagórica na existência de uma contra-Terra (Tessicini 2007, 9–58) [5].
Seja como for, a incapacidade de Bruno de compreender os aspectos técnicos da teoria copernicana não altera o fato dele ter sido um dos primeiros a endossar explicitamente a ideia de que a Terra se movia, numa altura em que a grande maioria dos astrônomos e cientistas naturais os filósofos tendiam a aceitar apenas os modelos matemáticos de Copérnico, mas não a teoria cosmológica subjacente. Além disso, como observa McMullin, Bruno pode ter sido o primeiro a notar, por escrito, que o autor da carta anônima intitulada Ad lectorem de hypothesibus huius operis (To the reader, regarding the hypotheses of this work) e anexada ao De Revolutionibus (On the Revolutions, 1543) não foi o próprio Copérnico (McMullin 1987, 59) [6]. Sabemos agora que o autor foi Andreas Osiander (1498–1552), que assumiu a publicação da obra de Copérnico quando Rheticus foi forçado a deixar Nuremberg. para Leipzig, onde foi nomeado para a cátedra de matemática. No entanto, Bruno não poderia ter conhecimento disso, pois foi somente em 1609 que Osiander foi identificado pela primeira vez como o autor do Ad lectorem de Kepler (Lerner e Segonds 2008, 120–24) [7].
Em seu Ad lectorem, Osiander afirmou a famosa afirmação de que as ideias apresentadas em De Revolutionibus deviam ser consideradas meras hipóteses destinadas a explicar fenômenos astronômicos em termos matemáticos, e não como afirmações físicas relativas à estrutura real do universo. Na crença de que Copérnico não estava apenas experimentando novos modelos matemáticos, mas também propondo uma visão de mundo alternativa, Bruno criticou o autor de Ad lectorem por ter traído as intenções de Copérnico. Os primeiros intérpretes, especialmente Pierre Duhem, rotularam a leitura de De Revolutionibus de Osiander como instrumentalista, enquanto Bruno e os outros estudiosos que aceitaram o aspecto cosmológico da teoria copernicana foram definidos como realistas. Dado que a divisão entre instrumentalismo e realismo na astronomia moderna atraiu muita atenção académica, farei um breve relato do debate historiográfico sobre estas duas posições epistemológicas antes de abordar a questão do realismo de Bruno.
Nos estudos modernos, Pierre Duhem foi o primeiro a reconhecer e a opor-se ao que, no seu entendimento, era o realismo de Copérnico. Em To Save the Phenomena, Duhem afirmou que Copérnico era um realista na medida em que acreditava que suas hipóteses astronômicas eram verdadeiras e demonstráveis (Duhem [1908] 1985) [8]. No entanto, a afirmação de Duhem não se coadunava com as descobertas de Noel Swerdlow e Otto Neugebauer, que mostraram que Copérnico não considerava as suas provas matemáticas certas (Swerdlow e Neugebauer 1984, 19–21). À luz disto, os estudiosos concluíram que a hostilidade de Duhem para com Copérnico estava enraizada na sua própria visão da ciência, que rejeitava ferozmente “o imperialismo filosófico-teológico do realismo predominante da segunda metade do século XVI” (Goddu 1990, 307). Isso também explicaria porque Duhem simpatizava com Osiander, que na sua opinião tinha mostrado que “as hipóteses da física são meros artifícios matemáticos concebidos com o propósito de salvar os fenômenos” (Duhem 1985, 117).
Algumas décadas após Duhem, Robert Westman demonstrou que a leitura de De Revolutionibus por Osiander deu lugar a uma interpretação estabelecida da teoria copernicana, que Westman chamou de “interpretação de Wittenberg” e cujos defensores foram os seguidores de Philip Melanchthon (1497–1560). Esta abordagem foi caracterizada por uma atitude ambivalente em relação a Copérnico, uma vez que os membros do círculo de Melanchthon aceitaram os modelos sem equidade enquanto rejeitavam os três tipos de movimento terrestre. Por esta razão, tentaram transformar os modelos copernicanos em dispositivos computacionais que pudessem caber numa visão geostática do universo. Estes esforços devem ter sido bem-sucedidos, porque “as afirmações realistas e cosmológicas da grande descoberta de Copérnico não foram plenamente consideradas” (Westman 1975, 168). Por outro lado, em oposição a Duhem, Westman (ibid., 167) enfatizou que a interpretação de Wittenberg não era de caráter instrumentalista, e que “representava mais do que uma posição de resignação epistêmica em relação ao que se poderia saber sobre a realidade celestial”. movimentos, ao mesmo tempo que não chega a uma forte interpretação realista” (ibid., 167).
Mais recentemente, Peter Barker e Bernard Goldstein alertaram contra o uso dos termos realismo e instrumentalismo nas descrições da astronomia do século XVI. Ambos os termos, argumentaram os autores, foram cunhados no século XX no contexto de um debate filosófico específico, portanto “nem o realismo nem o instrumentalismo captam bem a situação difícil do astrônomo do século XVI” (Barker e Goldstein 1998, 253). Além disso, Barker e Goldstein notaram que, no século XVI, a astronomia matemática e a filosofia natural eram distinguidas com base nas suas demonstrações. Seguindo a teoria aristotélica, as demonstrações propter quid (das causas aos efeitos) foram atribuídas à filosofia natural, enquanto a astronomia matemática foi limitada às demonstrações quia (dos efeitos às causas). O fato do conhecimento astronômico poder ser, na melhor das hipóteses, provável foi visto como uma consequência da impossibilidade de converter as demonstrações de quia em libras propriamente ditas, pois certo conhecimento só era alcançável através destas últimas. Vale a pena notar que a teoria aristotélica da demonstração também foi invocada em outro debate epistemológico do século XVI: a Quaestio de certitudine mathematicarum [9]. Isso sugere uma comparação entre o Quaestio e as discussões contemporâneas sobre o estado das demonstrações astronómicas, como as relatadas por Barker e Goldstein, o que exigiria um estudo separado.
Voltando a Bruno, ele foi descrito como um realista direto (no seu compromisso com o significado cosmológico das inovações de Copérnico) e como um feroz oponente da matemática do seu tempo. Na verdade, foi o próprio Bruno quem transmitiu esta imagem ao endossar Copérnico, por um lado, e ao escrever One Hundred and Sixty Articles against the Mathematicians (Articuli centum et sexaginta adversus mathematicos, Bruno [1588] 1889a), por outro lado. Como o realismo de Bruno se ajustava à sua desconfiança na matemática? Hélène Védrine afirmou que era por causa de seu realismo que Bruno era cético em relação à pesquisa matemática contemporânea. Para Védrine, Bruno era um realista no sentido platônico, na medida em que pensava que “os seres matemáticos estavam em ação no mundo sensível” (Védrine 1976, 40. Todas as traduções são de minha autoria, salvo especificação em contrário). Pelo contrário, a matemática do século XVI baseava-se, em grande parte, na visão aristotélica de que os objetos matemáticos eram conceitos inteligíveis abstraídos de seres sensíveis. Rejeitando esta ontologia aristotélica e a matemática que foi construída sobre ela, Bruno passou a propor a sua própria versão “platônica” da matemática, central para a qual era o conceito de minimums “reais” [10]. No entanto, Védrine observou que não foi Bruno, mas “os aristotélicos paduanos, Cardano, Tartaglia, Scipione del Ferro que contribuíram para o avanço da matemática do século XVI” (ibid., 241).
Conforme mencionado na introdução, desafio a visão de Védrine sobre a matemática de Bruno. Mostrarei que se é verdade que traços de realismo podem ser encontrados nas obras vernáculas de Bruno (e em particular em La cena), então estas obras também contêm as sementes de uma epistemologia diferente que será plenamente desenvolvida nas obras latinas. Comecemos por rever as evidências a favor do realismo de Bruno. Os estudiosos, incluindo Védrine, consideraram a crítica de Bruno a Osiander e a consequente defesa das “verdadeiras” intenções de Copérnico como um endosso do realismo. Com efeito, esta parece ser a explicação mais plausível para as passagens em questão, que pode ser resumida da forma que aqui se segue.
Bruno não foi só um dos primeiros a notar que o autor de Ad lectorem não poderia ter sido Copérnico, mas também foi provavelmente o autor da primeira tradução vernácula da carta (ver Lerner 2012). Uma comparação com o texto original mostra que Bruno traduziu fielmente seu conteúdo, omitindo apenas um trecho em que Osiander reiterava o que já havia dito sobre o uso de hipóteses em astronomia — uso que se tornou necessário pelo fato de que o raciocínio astronômico não poderia de forma alguma significa produzir conhecimento das causas físicas dos fenômenos celestes. Este foi fatualmente o ponto central do Ad lectorem que terminou com as seguintes palavras (retiradas da tradução de Bruno):
“Tiremos vontagem do então tesouro destas suposições apenas na medida em que elas tornam a arte do cálculo maravilhosamente fácil. Pois se alguém considerar tais ficções como reais, sairá desta disciplina mais ignoranteque quando entrou nela” (Bruno 2018, 93).
Como previsto, Bruno rejeitou totalmente esta leitura de De Revolutionibus, que considerava obra de um “burro ignorante e presunçoso” (Bruno 2018, 91). Em particular, o que Bruno não aceitou do Ad lectorem foi a sua tentativa de desculpar Copérnico, como se o astrônomo polaco quisesse defender-se das acusações de heterodoxia e heresia que teólogos e aristotélicos poderiam ter pressionado contra o seu livro [11]. Na verdade, os estudos modernos de Copérnico mostraram que este era precisamente o caso, já que Copérnico tinha medo de como o De Revolutionibus poderia ser recebido pelo público instruído [12]. Por esta razão, Bruce Wrightsman escreveu que “é muito mais provável afirmar que, durante mais de um século, ‘Ad lectorem’ protegeu a obra… durante um período extremamente tenso de conflito ideológico e político e, portanto, realmente permitiu a obra para ser usado e ponderado durante esse período por aqueles com tais escrúpulos” (Wrightsman 1975, 240) [13].
Para rejeitar os argumentos de Osiander e provar que era propósito de Copérnico afirmar que a Terra se movia, Bruno argumentou que De Revolutionibus era um tratado filosófico e não matemático. Como vimos, a distinção entre filósofos naturais e matemáticos esteve no centro dos debates astronómicos do século XVI. Segundo Bruno, Copérnico via-se como filósofo quando, escrevendo ao Papa Paulo III no prefácio do De Revolutionibus, sublinhou a importância de prestar atenção aos filósofos e não ao “rebanho vulgar” (Bruno 2018, 93) [14]. Sobre por outro lado, Bruno não podia negar que a obra de Copérnico continha demonstrações matemáticas, que no entanto ele considerava um mero exercício e não parte integrante da teoria copernicana. Por este motivo, concluiu Bruno, Copérnico “não atua apenas como o matemático que faz suposições, mas também como o físico que demonstra os movimentos da Terra” (ibid.).
Se La cena contivesse apenas este julgamento de Copérnico e sua teoria, deveríamos concluir que Bruno era um realista na medida em que não apenas considerava os movimentos terrestres mais do que uma hipótese matemática, mas também atribuía esta opinião ao próprio Copérnico. No entanto, quando anteriormente no texto Smithus perguntou a Teófilo (porta-voz de Bruno) qual era a sua opinião sobre Copérnico, Teófilo respondeu que:
“Seu julgamento em questões de filosofia natural era muito superior ao de Ptolomeu, Hiparco, Eudoxo e todos os outros que seguiram seus passos. […] No entanto, ele não deixou essa filosofia o suficiente para trás; pois, em na medida em que era um estudante de matemática e não de natureza, ele foi incapaz de penetrar nas profundezas que lhe teriam permitido erradicar os princípios inúteis e inadequados dos quais ela provém.” (Bruno 2018, 29)
A parir daí, Bruno teve uma atitude ambivalente em relação a Copérnico. No início de La cena, Copérnico foi criticado por ser mais um matemático do que um filósofo natural. Pelo contrário, na sua defesa da realidade do modelo copernicano, Bruno enfatizou o valor físico das ideias apresentadas no De Revolutionibus. Como explicar esta ambivalência? McMullin escreveu que “Copérnico aparece como um filósofo em busca da verdade, em contraste com outros astrônomos, mas como um ‘matemático’, em contraste com o próprio Bruno” (McMullin 1987, 63). Isso pode ser verdade, mas foi o próprio McMullin quem notou que havia mais diferenças do que semelhanças entre as teorias cosmológicas de Bruno e Copérnico. Uma análise destas diferenças levará a uma reavaliação do realismo de Bruno, lançando uma nova luz sobre a questão de saber se ele considerava os objectos matemáticos como estando em acção no mundo sensível (como Védrine os tinha) ou não.
Comecemos revisando as considerações de Bruno sobre cálculos astronômicos. Esses cálculos foram o resultado de centenas de anos de observações astronômicas. Bruno, ciente disto, deu crédito às gerações de matemáticos cujo trabalho lançou as bases para as teorias cosmológicas de Ptolomeu e Copérnico. No entanto, havia um outro lado na avaliação de Bruno sobre a astronomia matemática, conforme ilustrado na seguinte passagem:
“Tais homens [ou seja, os matemáticos] são como intérpretes que traduzem palavras de uma língua para outra; no entanto, não são eles, mas outros que finalmente chegam ao cerne da questão. Novamente, eles são como rústicos que relatam o progresso e a sorte de um batalha a um capitão ausente; embora eles próprios sejam incapazes de compreender as estratégias, as causas e o desígnio que levaram à vitória.” (Bruno 2018, 27)
Duas observações estão em ordem. Primeiro, nesta citação, Bruno mais uma vez enfatizou que os matemáticos ‘rústicos’ não conheciam as causas dos fenômenos astronômicos, cujo conhecimento pertencia ao chamado “capitão”, que podemos assumir ser a contraparte militar do natural. filósofo. Portanto, esta citação corrobora a ideia de que Bruno aceitava a distinção, padrão em sua época, entre astronomia matemática e filosofia natural.
A segunda observação é que, para Bruno, os matemáticos agiam como intérpretes, sendo a sua tarefa traduzir a linguagem da natureza para a da matemática. Consideremos por um momento a metáfora galileana do livro da natureza escrito na linguagem da matemática. Embora não haja consenso sobre o significado atribuído a ela por Galileu (ver Palmerino 2016), deveria ser evidente que tal metáfora se situava no polo oposto da visão bruniana de que nos estudos astronômicos os matemáticos desempenhavam o papel de intérpretes. A ideia subjacente a esta visão era, realmente, que a linguagem da matemática era diferente daquela da natureza, caso contrário não haveria necessidade de um intérprete. Ao mesmo tempo, deve-se perceber que comparar matemáticos e intérpretes não equivalia a dizer que era preciso ser um matemático para compreender a natureza, pois Bruno deixou claro que faltava aos matemáticos essa habilidade, que só era possuída pelos filósofos naturais.
Assim, podemos concluir que Bruno não pensava que o universo tivesse uma estrutura matemática. Em vez disso, o universo poderia ser descrito em termos matemáticos, mas isso exigia uma tradução que, por mais fiel que fosse, não poderia capturar inteiramente a essência da realidade física. Isso também é confirmado pela rejeição de Bruno aos dispositivos circulares, especialmente orbes, como forma de explicar os movimentos planetários, o que foi sem dúvida a diferença mais significativa entre as teorias cosmológicas de Bruno e Copérnico. Em La cena, Bruno discordou de “aqueles que querem imaginar recheios e enchimentos de orbes irregulares, … inventando emplastros e outras prescrições para curar a natureza para que ela possa servir ao seu mestre, Aristóteles ou outra pessoa” (Bruno 2018, 115). Como fica evidente pela referência a Aristóteles, Bruno aqui estava atacando os defensores do sistema aristotélico-ptolemaico. Contudo, a mesma objeção poderia ser levantada contra Copérnico, que também concebeu a existência de orbes sólidos nos quais os corpos celestes estavam embutidos.
Na teoria cosmológica de Bruno, os orbes foram descartados em favor de “um único corpo aéreo, etéreo, espiritual e líquido, um lugar amplo de movimento e silêncio, que se estende até a imensidão do infinito” (ibid., 117). Tendo abandonado os orbes sólidos que transportavam os corpos celestes num movimento circular uniforme, Bruno foi forçado a encontrar uma explicação física alternativa para os movimentos planetários. Para tanto, recorreu à ideia platônica original, cujo maior promotor na Renascença foi Marsilio Ficino, de que os corpos celestes eram animais, o que significa que eram habitados por um espírito denominado alma do mundo ou anima mundi (ver Pompeo Faracovi 2002).Era essa alma do mundo a responsável pelo movimento dos corpos celestes, que vagavam pelo espaço etéreo e ao redor de seus respectivos sóis — Bruno imaginou sistemas solares infinitos — para absorver o calor e a luz necessários à vida [15].
Perguntemos agora: com que fundamento Bruno rejeitou a existência de orbes sólidos? Será que esta rejeição foi causada por algo mais do que a sua crítica aberta a Aristóteles e aos seus epígonos? Na natureza, argumentou Bruno, nenhum corpo tinha uma forma perfeitamente redonda, nem havia um corpo que se movesse ao longo de uma trajetória perfeitamente circular. Assim, por que se encontrava nos céus uma circularidade perfeita, como postulado por aqueles que presumiam a existência de orbes sólidos (Bruno 2018, 115)? Este argumento implicava que, ao contrário do que pensava a maioria dos cosmólogos medievais, não havia diferença entre os corpos que habitavam as regiões super e sublunares. Na verdade, como se sabe, tal distinção estava ausente do universo homogéneo de Bruno, no qual todos os corpos eram compostos pelos mesmos quatro elementos. Além disso, este argumento diz-nos que, ao contrário do que Védrine afirmava, Bruno não acreditava na existência real de objetos matemáticos (tais como círculos perfeitos ou movimentos circulares) no mundo físico. Com base no mesmo argumento, nas obras latinas posteriores, Bruno iria descartar todos os dispositivos astronômicos circulares, incluindo excêntricos e epiciclos (mais sobre isso em § 3). Nessa altura, em vez de criticar os astrônomos que “curaram” a natureza para se adequar aos seus modelos matemáticos, ele argumentaria que era a matemática que tinha de mudar para representar a natureza, defendendo assim uma reforma da geometria. Esta reforma iria dar lugar a um novo conceito que entretanto havia entrado na matemática de Bruno: o conceito de minimum.
2. Acrotismus camoeracensis (1588) e a construção da teoria dos minimums de Bruno
Foi nos diálogos sobre o compasso proporcional inventado pelo geômetra italiano Fabrizio Mordente (Bruno [1586] 1957) que Bruno atribuiu pela primeira vez um significado matemático ao mínimo [16]. Lá, ele mostrou que a bússola de Mordente permitia demonstrar que tanto os objetos matemáticos quanto os físicos tinham uma estrutura atômica. Mais precisamente, no entendimento de Bruno — mas não no de Mordente, que protestou veementemente contra esta interpretação do seu instrumento — o compasso permitia dividir linhas curvas e retas até às suas frações mínimas e indivisíveis. Esta descoberta deve ter inspirado Bruno a desenvolver ainda mais a sua geometria atomística. Porém, para isso, ele precisou superar o que durante a Idade Média e ainda em sua época representava o maior obstáculo ao atomismo: as críticas aristotélicas. Ele atendeu a essa tarefa em outra obra composta quase na mesma época dos diálogos sobre a bússola de Mordente, mas publicada dois anos depois: Acrotismus camoeracensis (Bruno [1588] 1879a) [17]. Talvez não por coincidência, Acrotismus também rendeu percepções sobre a questão do realismo matemático de Bruno.
Já em La cena, Bruno sustentou que “na física, a divisão de um corpo finito não pode progredir até o infinito esperado por aqueles que são loucos, quer você pense nisso em ato ou em potencial” (Bruno 2018, 107). Contudo, nem em La cena, nem nos outros diálogos italianos Bruno explicou por que era tão “louco” acreditar na divisibilidade infinita do continuum físico, postulando assim, em vez de justificar racionalmente, a existência dos átomos. Até certo ponto, o Acrotismus preencheu essa lacuna. A estrutura do livro, que seguiu o modelo das discussões acadêmicas do século XVI, foi pensada para abordar uma a uma as questões centrais levantadas na Física e no De caelo de Aristóteles. Ao problema de saber se o continuum era ou não infinitamente divisível (que foi discutido principalmente no Livro VI da Física de Aristóteles), Bruno dedicou o 42º artigo do Acrotismus, que diz o seguinte:
“Antes de assumir que o continuum é infinitamente divisível, Aristóteles deveria ter especificado como todo o universo era divisível da mesma forma que esta terra, e todo este globo da mesma maneira que esta maçã; como estas coisas, que são seres finitos, são de tamanhos diferentes, através da divisão infinita tornam-se iguais … Como são iguais em potência, mas desiguais em atos?” [18]
Para Bruno, dizer que duas coisas eram infinitamente divisíveis era dizer que elas eram compostas por um número infinito de partes. O infinito, no entanto, não admitia diferença, pois era impossível que “um infinito fosse maior que outro infinito, nem em potência nem em ato” [19]. Da mesma forma, era impossível dizer qual das duas coisas infinitamente divididas era maior que a outra, uma vez que, após a divisão, ambas seriam compostas do mesmo número infinito de partes. Nem importava que as partes de uma coisa fossem maiores em tamanho do que as partes da outra, “pois as partes maiores retiradas apenas uma vez da [coisa] maior seriam necessariamente iguais às partes menores tiradas múltiplas vezes da [coisa] menor [coisa]” [20]. Os aristotélicos teriam respondido a essas objeções apontando — como feito no tratado pseudo-aristotélico De insecabilibus lineis (Sobre linhas indivisíveis) — que o fato de um objeto maior poder conter um número infinito de objetos menores nada nos dizia sobre o que o contém. objeto em si, pois um objeto poderia estar contido em outro sem fazer parte dele [21].
Este contra-argumento não pareceu incomodar Bruno, que em vez disso se concentrou noutra distinção aristotélica — aquela entre o infinito potencial e o real. Na Física, Aristóteles via a divisibilidade infinita do continuum como um infinito potencial, o que significa que não havia limite para o número de partes em que o continuum poderia ser dividido; por menor que fosse a parte, ela sempre poderia ser dividida ainda mais [22]. Além disso, Aristóteles deixou claro que a divisibilidade do continuum nunca foi infinita no sentido real, uma vez que, em sua opinião, o infinito real era impossível [23]. Bruno contestou esta afirmação, pois não via como era possível existir uma potência sem um ato correspondente. Bruno presumiu que um aristotélico responderia que tais potências eram encontradas no domínio da matemática, onde era permitido realizar operações impossíveis de realizar no mundo real. Em resposta, Bruno observou que mesmo os matemáticos não consideravam a linha “absolutamente infinita, pois seria inútil fazê-lo, mas consideram-na infinita em certo aspecto, pois, para eles, infinito significa ‘como grande quanto você quiser’ ” [24]. Neste ponto, Bruno estava de pleno acordo com Aristóteles, que na Física escreveu que os matemáticos faziam uso de grandezas arbitrárias e não infinitas [25].
Está além do propósito deste artigo discutir a eficácia dos argumentos de Bruno contra a física aristotélica. Em vez disso, estou interessado no que estes argumentos nos podem dizer sobre a concepção de Bruno da matemática e a sua relação com a ideia de infinito. Vimos que Bruno (assim como Aristóteles) pensava que, estritamente falando, não era o infinitamente grande, mas o grande arbitrário, o tema da matemática. E o infinitamente pequeno? Será que, segundo Bruno, os matemáticos acreditavam que havia um limite para a divisão do continuum matemático, ou acreditavam que este poderia prosseguir até ao infinito? Sabemos que a geometria euclidiana clássica defendia uma visão aristotélica do continuum, na medida em que os únicos indivisíveis permitidos eram pontos, linhas e planos, concebidos como fins e não como partes do continuum. Na verdade, a maioria das objeções medievais ao atomismo foram inspiradas por considerações matemáticas (Lüthy, Murdoch e Newman 2001). Por exemplo, os críticos do atomismo notaram que era impossível explicar os incomensuráveis quando as magnitudes eram concebidas como compostas por um número finito de partes indivisíveis. O próprio Bruno teve que responder a esta objeção no De minimo. Em Acrotismus ele escolheu uma estratégia diferente, que à primeira vista pode parecer retórica, mas que retrospectivamente pode ser vista como o início do projeto de reforma matemática de Bruno:
“Uma coisa é considerar a magnitude matematicamente, outra bem diferente é considerar a magnitude fisicamente. … Se a lógica e a matemática querem assumir o infinitamente divisível independentemente de qualquer práxis e usar para uma consideração vã, deixe-as fazer o que querem.” [26]
A matemática para Bruno tinha que se conformar à ordem natural, para não se tornar uma especulação vã. Isto significava que a divisibilidade infinita do continuum tinha de ser rejeitada tanto na física como na matemática. Com o passar do tempo, Bruno percebeu que eram necessários mais do que alguns ajustes para introduzir o atomismo na matemática; na verdade, era necessária uma teoria inteiramente nova, cujo desenvolvimento foi realizado no De minimo. Quanto ao Acrotismus, parecia implicar que Bruno estava longe de ser um realista matemático. Nele, em vez de dizer que os fenômenos físicos poderiam ser totalmente explicados em termos matemáticos (como faria o realista matemático), Bruno afirmou que era a matemática que tinha de ser modelada a partir da física. Contudo, deve-se notar que em outras passagens da mesma obra Bruno estava disposto a atribuir um papel à matemática nas explicações físicas. Este foi o caso do terceiro e quarto artigos do Acrotismus, nos quais Bruno defendia um retorno à filosofia pré-socrática face à rejeição dela por Aristóteles. Inspirando-se em Parmênides e Melissus, Bruno (1879, 98–99) defendeu a ideia de que o universo era uma “esfera infinita” — uma imagem que ocorreu frequentemente nas obras de Bruno e à qual retornaremos na próxima seção. Assim, Bruno permitiu o uso de imagens matemáticas como metáforas. Ele, particularmente, confiou nessas imagens para expressar conceitos que ultrapassavam os limites da compreensão humana, como o infinito do universo. Esta versão metafórica do realismo matemático não era incompatível com a ideia de que a existência de objetos matemáticos dependia da nossa mente. Na verdade, ambas as concepções estavam na base da geometria atomística de Bruno, embora a sua sobreposição não fosse isenta de problemas, como mostrará a próxima seção.
3. De minimo (1591): Onde a matemática vai de encontro com a física (e a metafísica)
Na primavera de 1591, Giordano Bruno estava em Frankfurt quando foi convidado a ir a Veneza pelo patrício Giovanni Mocenigo (Firpo 1993, 154–55). Isto deu a Bruno a oportunidade de regressar ao seu país natal, de onde tinha fugido há mais de dez anos sob suspeita de heresia. Bruno devia saber que, uma vez na Itália, a Inquisição poderia ter apresentado queixa contra ele. Mesmo assim, aceitou o convite de Mocenigo e, contra o seu melhor julgamento, partiu para Veneza. Como se sabe, esta decisão revelou-se infeliz, pois, depois de ter sido denunciado por Moceningo em 1592 e de um longo processo inquisitorial, Bruno foi queimado na fogueira no Campo de’ Fiori, em Roma, em 17 de Fevereiro de 1600.
As atividades de Bruno chamaram a atenção de Mocenigo pelo poema latino intitulado De minimo, que junto com De immenso e De monade formaram a chamada “trilogia de Frankfurt” de Bruno. Na verdade, todos estes três trabalhos foram publicados em Frankfurt, pouco antes de Bruno partir para Itália. Por sua vez, Mocenigo estava interessado em desvendar os segredos da arte da memória que Bruno dominava. Mais relevante para este estudo, De minimo marcou o fim da jornada matemática iniciada oito anos antes com os diálogos italianos, pois continha a versão definitiva da teoria dos minimums de Bruno. Em seus trabalhos anteriores, Bruno criticou a pesquisa matemática contemporânea por sua falha em reconhecer a importância do minimum: ‘A ignorância do minimum torna os geômetras deste século geâmetros, e os filósofos, filósofos’ Bruno escreveu em Articuli adversus mathematicos [27]. Esta crítica continuou em De minimo onde, com base na premissa de que a realidade física tinha uma estrutura atômica, o pomo da discórdia tornou-se a divisibilidade infinita do continuum matemático:
“Ao dividir infinitamente o que tem medida precisa, o geômetra erra, não segue os passos da natureza que, nunca sendo alcançada, não pode ser imitada pelo geômetra.” [28]
Se no Acrotismus a aceitação pelos matemáticos da divisibilidade infinita era tolerada (“deixe-os fazer o que querem”), no De minimo Bruno foi menos indulgente. Isto provavelmente se deveu ao fato de que no poema latino Bruno apresentou sua própria teoria matemática, que ele via como uma alternativa à matemática clássica. Na verdade, a teoria dos minimums de Bruno foi uma das primeiras tentativas de introduzir indivisíveis na geometria, uma questão que se tornaria central para a matemática do século XVII. Por outro lado, havia o papel (ou a falta dele) da matemática no estudo da natureza. Como fica evidente na citação acima, Bruno pensava na matemática como um conjunto de representações mentais que deviam espelhar, em vez de explicar, o mundo físico. Mais uma vez, isto sugere que Bruno estava muito distante da metáfora galileana do livro da natureza e, mais genericamente, do que foi chamado de matematização da natureza [29]. Na verdade, pode-se dizer que o projeto realizado por Bruno é uma naturalização da matemática [30].
No entanto, pode-se argumentar que a atitude de Bruno em relação à matemática não foi consistente ao longo do De minimo. Especialmente no início deste trabalho, Bruno parecia vislumbrar uma relação íntima entre matemática e natureza:
“Deus é a fonte mônada de todos os números, a simplicidade de todas as grandezas e a substância de todos os compostos … A natureza é o número numerável, a grandeza mensurável e a realidade determinável. A razão é o número que numera, a grandeza que mede e a realidade que determina.” [31]
Esta visão matematizada da natureza foi fundamentada no conceito de mônada — uma das pedras angulares da ontologia de Bruno, bem como a razão pela qual os estudiosos sugeriram uma conexão entre Bruno e Leibniz [32]. Bruno definiu a mônada como o minimum dos números racionalmente [racionaliter] e de todas as coisas essencialmente [essentialiter] [33]. Por sua vez, esta definição lançou as bases para o projeto numerológico realizado no De minimo e, mais extensivamente, no De monade (Bruno [1591] 1884). Uma discussão sobre a numerologia de Bruno exigiria um estudo separado. Basta dizer que as especulações de Bruno sobre os poderes simbólicos e místicos dos números baseavam-se na visão panpsiquista do mundo já expressa nas suas obras vernáculas. Assim, a numerologia de Bruno abriu a porta para uma forma de “magia matemática”, em vez de uma análise quantitativa dos fenómenos físicos [34]. Esta é também a razão pela qual Bruno não foi admitido no cânone da ciência moderna, apesar da sua defesa pioneira de Copérnico. e o infinito do universo. O historiador da Revolução Científica Alexandre Koyré foi um dos primeiros a manifestar preocupações sobre a falta de modernidade de Bruno, embora tenha sublinhado a importância do novo paradigma cosmológico trazido pelo filósofo italiano:
“Giordano Bruno, lamento dizer, não é um filósofo muito bom. A mistura de Lucrécio e Nicolau de Cusa não produz uma mistura muito consistente. … Ele é um cientista muito pobre, não entende de matemática, e sua concepção dos movimentos celestes é bastante estranha… Na verdade, a visão de mundo de Bruno é vitalista, mágica; seus planetas são seres animados que se movem livremente pelo espaço por conta própria, como os de Platão e Pattrizi. não é de forma alguma uma mente moderna. No entanto, sua concepção é tão poderosa e tão profética, tão razoável e tão poética que não podemos deixar de admirá-la e a ele. E tem — pelo menos em suas características formais — influenciado tão profundamente a ciência moderna e filosofia moderna, que não podemos deixar de atribuir a Bruno um lugar muito importante na história da mente humana.” (Koyré 1958, 54; ênfase adicionada)
Bruno não acreditava na existência de leis universais da natureza que pudessem ser formuladas em termos matemáticos. Pelo contrário, os números e as figuras só podiam ser aplicados ao estudo da natureza na medida em que fossem capazes de assumir um significado simbólico e metafórico. Se este aspecto da concepção de matemática de Bruno pode parecer ambíguo ou levantar dúvidas, não há dúvida sobre o seu compromisso com a visão de que os objectos matemáticos não existiam na natureza. Vimos que em La cena os orbes sólidos (ainda empregados por Copérnico) foram rejeitados em favor de um universo povoado por corpos celestes animados, pela razão de que não se encontrava na natureza nenhuma forma ou movimento circular perfeito. Isto foi reafirmado nos poemas de Frankfurt, especialmente em De immenso (Bruno [1591] 1879b), onde Bruno negou que o círculo perfeito — na verdade, qualquer forma perfeita — estivesse presente na natureza [35]. No entanto, havia um aspecto da teoria dos minimums de Bruno que contrastava com a sua negação da independência dos objectos matemáticos da nossa mente: a forma circular do minimum. Bruno, de fato, afirmou que o minimum era um círculo no espaço bidimensional e uma esfera no espaço tridimensional [36]. Mas por que Bruno dotou a entidade mais importante de sua ontologia de uma forma circular, se tal forma não era encontrada em lugar nenhum no mundo real?
O problema da forma circular do minimum Bruniano é ainda mais convincente se considerarmos a importância que Bruno atribuiu às imagens e, mais em geral, ao pensamento visual [37]. No caso específico dos trabalhos matemáticos de Bruno, as imagens tiveram dupla aplicação. Primeiro, as imagens ofereciam um meio de promover a matemática como disciplina prática. Um exemplo é fornecido pelos “templos” de Apolo, Minerva e Vênus que Bruno construiu em De minimo, por meio dos quais ele pretendia lançar as bases para uma teoria universal de medição que permitiria aos matemáticos medir tudo (figs. 2a-2b-2c). Além disso, Bruno utilizou imagens matemáticas de forma simbólica para expressar o que era difícil de expressar em palavras ou para visualizar o que era invisível ao olho humano. Por exemplo, em De minimo Bruno baseou-se em construções circulares para mostrar os padrões nos quais os átomos estavam dispostos para formar figuras matemáticas e físicas (figs. 3a-3b-3c).
Christoph Lüthy (1998) demonstrou que Bruno herdou esses diagramas circulares de uma tradição secular, que remonta a Agostinho (354–430 DC) e com base nos ensinamentos matemáticos de Boécio (477–524 DC). O que distinguiu Bruno dos seus antecessores foi o significado que atribuiu a esses diagramas, pois foi o primeiro a usar círculos para representar átomos. Paralelamente, Bruno foi destinatário de uma metáfora que também teve origem na Idade Média, em particular no anónimo Liber XXIV philosophorum (Book of the 24 Philosophers): a metáfora da esfera infinita cujo centro estava em toda parte e cuja circunferência era em parte alguma [38]. Originalmente concebida como uma descrição de Deus, a metáfora da esfera infinita assumiu diferentes significados ao longo da sua longa história, dependendo do contexto em que foi compreendida. Com Nicolau de Cusa, a esfera infinita passou a representar o universo, o máximo no reino dos seres finitos [39]. Mantendo a ideia (também de Cusa) de que os opostos coincidiam, Bruno deu um passo adiante e empregou a metáfora do esfera infinita para descrever o minimum:
“É evidente para todos que o centro, ou seja, o círculo, a corda, a área, o diâmetro, o arco e o raio são todos indistintos, quer nos referamos ao mínimo ou ao máximo” [40]
Assim, a forma circular do minimum Bruniano parecia resultar da interação de dois elementos teóricos: os diagramas circulares e a metáfora da esfera infinita. Apesar de sua aparência geométrica, ambos os elementos tinham uma origem metafísica e não estritamente matemática, pois eram usados para simbolizar Deus [41]. Foi Bruno quem transformou os diagramas circulares e a esfera infinita em noções matemáticas completas. Ele fez isso empregando-os como um auxílio visual para a compreensão das propriedades fundamentais do mínimo (por exemplo, a maneira como os mínimos interagem entre si). No entanto, a herança metafísica destas duas noções interferiu na sua nova função matemática, causando problemas ao nível geométrico. Por exemplo, como em torno de um círculo só havia espaço para seis outros círculos com o mesmo diâmetro (ver Area Democriti, fig. 3a) e como cada círculo representava um ponto geométrico, Bruno concluiu que numa circunferência o centro (o círculo central) foi alcançado por apenas seis raios (cujas extremidades eram os seis círculos periféricos) [42].
Assim, a forma circular do minimum estava em desacordo não só com a rejeição de Bruno da independência mental dos objectos matemáticos, mas também com os princípios básicos da geometria euclidiana. Como visto acima, estas contradições foram geradas pela introdução de elementos metafísicos numa teoria que era ao mesmo tempo física e matemática. No entanto, Bruno não estava disposto a abandonar esses elementos metafísicos porque o seu objectivo era precisamente integrar a física, a metafísica e a matemática numa única teoria. Na verdade, toda a teoria de Bruno foi construída sobre a distinção das três espécies de mínimos: físico (o átomo), metafísico (a mônada) e matemático (o ponto) [43]. Isto significava que todos estes três aspectos da realidade podiam ser descritos em termos de mínimos, ou que, no entendimento de Bruno, os minimum proporcionavam uma “teoria de tudo”.
Bruno pode ou não ter consciência de que o seu projecto era demasiado ambicioso e que qualquer tentativa de unificar a física, a metafísica e a matemática teria causado problemas num ou mais destes três níveis. O certo é que ele estava disposto a enfrentar esses problemas para garantir a abrangência de sua teoria. Isto não altera o facto de a teoria dos mínimos de Bruno ter falhas, particularmente no que diz respeito às suas aplicações matemáticas e físicas. No entanto, reconhecer que a teoria de Bruno serviu um “propósito mais elevado” pode ajudar a avaliar melhor o seu valor global.
Notas de Rodapé
[1] Ver também Bönker-Vallon (1999; 2003).
[2] Por exemplo, ver Henry (2001b, 145).
[3] Em um artigo recente sobre a astronomia moderna, Çimen distingue o realismo matemático do que ele chama de ‘realismo físico’, isto é, “a crença de que uma verdadeira descrição geométrica (ou modelo) pode ser feita a partir de uma verdadeira teoria física, isto é, de investigações sobre razões físicas” (Çimen 2018, 3). Como veremos (especialmente em § 3), Bruno teria subscrito esta última versão do realismo, na medida em que pensava que a matemática deveria ser modelada segundo a física. O realismo matemático também tem sido associado à Revolução Científica e à “matematização da natureza” (ver Henry 2001a, 15).
[4] A “Tese de Yates” foi posta em dúvida por Westman (1977) e McMullin (1987).
[5] Ver também Granada (2010, 2015).
[6] Para uma visão geral dos autores que primeiro notaram que Ad lectorem não pertencia a Copérnico, ver Lerner e Segonds (2008, 118–20).
[7] Sobre Osiander, ver também Wrightsman (1975).
[8] Como já mencionado, dentro da teoria copernicana, é importante distinguir entre primeiros princípios (heliocentrismo, movimento da Terra, etc.) e modelos de movimento planetário (em latim theoricae planetarum), que envolvem o uso de excêntricos e epiciclos. As primeiras têm valor físico e cosmológico, enquanto as últimas são hipóteses matemáticas que podem ou não ser verdadeiras do ponto de vista físico. Sobre esta questão, ver Lloyd (1978) reimpresso em Lloyd (1991).
[9] Sobre o Quaestio, ver Jardine (1988); De Pace (1993); Mancosu (1996); Sergio (2006).
[10] Deve-se notar, no entanto, que Bruno rejeitou totalmente a separação platônica entre entidades físicas e metafísicas e, portanto, ao contrário de Platão, ele não considerava os números e as grandezas como objetos puramente intelectuais. Na verdade, Bruno discordou dos platônicos e de seus “sinais ideais, separados da matéria, pois se estes não são monstros, são certamente piores que monstros, sendo quimeras e fantasias inúteis” (Bruno 1998, 85).
[11] Assim como Bruno, Thomas Digges também pensava que “alguns se desculparam carinhosamente [a Copérnico] por apresentar estas bases da mobilidade da Terra apenas como princípios matemáticos, fingidos e não como filosoficamente verdadeiramente afirmados” (Digges 1576, 79). Para críticas contemporâneas a Osiander, ver Zinner (1931, 256–57); Rosen (1940, 287–92); Hall (1983, 55).
[12] Copérnico expressou suas preocupações em uma carta a Osiander datada de 1540, um fragmento da qual foi preservado em Kepler (1988).
[13] As defesas de Osiander também podem ser encontradas em Armitage (1938, 94); Lerner e Segonds (2008).
[14] Sobre o prefácio de Copérnico, ver Westman (1990); Blumental (2013); Granada e Tessicini (2005).
[15] Para uma visão geral da explicação “biológica” de Bruno sobre os movimentos planetários, ver Ingegno (1978, 63–70); Granada (2010).
[16] Ver Matteoli (2010); Rossini (2019).
[17] O Acrotismus continha as teses anti-aristotélicas de Bruno, que foram objeto de uma disputa pública realizada no Collège de Cambrai (hoje parte do Collège de France) em Paris em 1586. O título da obra parecia sugerir essa disputa, como o O termo Acrotismus deriva do grego akroasis, que significa “ouvir” e foi incluído no título da Física de Aristóteles (Physike akroasis), enquanto o termo camoeracensis foi um neologismo cunhado por Bruno para se referir ao Collège de Cambrai. Para mais informações sobre o título, ver Amato (2009, 13–15). Por ocasião da disputa, Bruno mandou imprimir as teses sob o título Centum et viginti articuli adversus Peripateticos (Cento e vinte artigos lidos contra os peripatéticos; Bruno 2007 [1586]) O Acrotismus tinha uma relação estreita com os Articuli, como o primeiro pode ser visto como uma versão revisada e ampliada deste último.
[18] Bruno (1879a, 151–52): ‘Priusquam Aristoteles supponeret, continuum in infinitum esse divisibile, dividique in semper divisibilia, indicare debuisset, quomodo totum universum aequaliter sit divisibile cum terra ista, et totus iste globus cum hoc pomo, quomodo haec, licet finita sint inaequalia, per divisionem in infinitum sunt aequalia. (…) quomodo aequalia sunt in potentia, actu vero inaequalia?’
[19] Bruno (1879a, 153): ‘Quomodo unum infinitum est maius alio in potentia vel in actu?’
[20] Bruno (1879a, 152): ‘Quia partes quas semel accepisti a maiori maiores, acceptis iterum atque iterum a minori mole minoribus, adaequabuntur necessario’.
[21] Aristóteles (1995a, 3305): ‘Além disso, uma vez que a menor das coisas contidas em uma casa é assim chamada, sem no mínimo comparar a casa com ela, e assim em todos os outros casos: — nem o menor dos constituintes da linha será determinado por comparação com a linha’. A minha compreensão deste argumento aristotélico baseia-se principalmente em Henry (2001b, 148–49).
[22] Aristóteles (1995b, 780): ‘Portanto, este infinito é potencial, nunca real: o número de partes que podem ser tomadas sempre ultrapassa qualquer quantidade definida. Mas este número não é separável, e o seu infinito não persiste, mas consiste num processo de vir a ser, como o tempo e o número do tempo”.
[23] Ver nota anterior.
[24] Bruno (1879a, 152–53): ‘Mitto quod neque mathematici accipiunt infinitam sempliciter lineam, cuius nullus usus esse potest, sed secundum quid infinitam accipiunt, quia illis infinitum est quantumcunque’.
[25]Aristóteles (1995b, 781): “Na verdade, eles [ou seja, os matemáticos] não precisam do infinito e não o utilizam. Eles postulam apenas que uma linha reta finita pode ser produzida na medida em que desejarem”.
[26] Bruno (1879a, 154): ‘Aliud sane est magnitudo mathematice, aliud magnitudo physice sumpta. (:::) quod etiamsi ratio et mathesis citra praxin omnem et usum ad vanam tantum contemplationem velit infinite divisibile adsumere, faciat ad arbitrium’.
[27] Bruno (1889a, 21): ‘Ignorantia minimi facit geometras huius saeculi esse geametras, et philosophos esse philasophos’.
[28] Bruno (1889b, 154–55): ‘Ergo errat mensor certum sine fine resolvens quantum, naturae nusquam vestigia lustrans, nusquam illa attingens, non ullis sortibus aequans’.
[29] Uma lista não exaustiva de estudos sobre a matematização da natureza inclui Blay (1999); Roux (2010); Shea (1983); Gorham et al. (2016).
[30] Outra tentativa de naturalizar a matemática foi feita por Francis Bacon. Ver Mori (2017).
[31] Bruno (1889b, 136): ‘Deus est monas omnium numerorum fons, simplicitas omnis magnitudinis et compositionis substantia (…) Natura est numerus numerabilis, magnitudo mensurabilis, momentum attingibile. Ratio est numerus numerans, magnitudo mensurans, momentum aestimans’.
[32] Ver Brown (2002).
[33] Bruno (1889b, 139–40): ‘Minimum est … monas rationaliter in numeris, essentialiter in omnibus’.
[34] Aos olhos de Bruno, magia era a visão de que os seres naturais poderiam ser usados para agir uns sobre os outros em virtude de sua interconexão espiritual. Por exemplo, ele pensavaque as pedras tinham influência na alma humana. Ver Bruno (1998, 63): ‘As propriedades de muitas pedras e gemas que, quebradas, recortadas ou incrustadas em pedaços irregulares, têm certas virtudes de alterar o espírito ou de engendrar afetos e paixões na alma, não apenas no corpo’.
[35] Bruno (1879b, 361): ‘Mathematice enim circularis motus non est in materia, quaecunque et qualiscunque sit, immo neque ullam formam vere in materia esse Platonici dixerunt (et non omnino male), neque hominem verum, neque verum equum’.
[36] Bruno (1889b, 177): ‘Minimi in plano propria figura est circulus, in solido sphaera’.
[37] Sobre a importância das imagens no pensamento de Bruno, ver especialmente Rossi (2006, 81–96).
[38] Esta metáfora tem sido objeto de extensos estudos: Mahnke (1937); Harries (1975).
[39] Nicolau de Cusa (2002, bk. II, chap. 12, para. 162): ‘Unde erit machina mundi quasi habens undique centrum et nullibi circumferentiam, quoniam eius circumferentia et centrum est Deus, qui est undique et nullibi’.
[40] Bruno (1889b, 145): ‘Centrum, aio, cyclus, chord’, area, dimetrus, arcus et radius nullo veniunt discrimine coram omnia, seu minimum seu maxima concipiantur’.
[41] Já dissemos que a esfera infinita foi originalmente concebida como uma metáfora de Deus. Quanto ao círculo, Agostinho atribuiu sua forma a Deus em virtude de ser a forma mais perfeita (ver Lüthy 2003, 184).
[42] Bruno (1889b, 247): ‘Ostendat minimum minimorum, cuius typus est circulus in quem omne resolvitur angulatum, a pluribus circumquaque possit attingi quam sex, et tunc concedemus eundem vel minimam partem vel nullam partem communem esse posse terminum omnium quae a peripheria descendere possunt lineae, non autem sex tantummodo radiorum terminum et trium communem partem diametrorum’.
[43] Bruno (1889b, 139–40): ‘Minimum est substantia rerum, quatenus videlicet aliud a quantitatis genere significatur, corporearum vero magnitudinum prout est quantitatis principium. Est, inquam, materia seu elemen tum, efficiens, finis et totum, punctum in magnitudine unius et duarum dimensionum, atomus privative in corporibus quae sunt primae partes, atomus negative in iisce quae sunt tota in toto atque singulis, ut in voce, anima et huiusmodi genus, monas rationaliter in numeris, essentialiter in omnibus’.
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Paolo Rossini é um historiador da filosofia e da ciência, especializado no Renascentismo e no início do período moderno. É bolseiro Marie Skłodowska-Curie na Escola Erasmus de Filosofia de Roterdão, onde dirige o projeto “Cartesian Networks.”
