看見一個光子：測量視覺的極限（上）
從天上的星星談到眼睛裡的視網膜，從心理學談到量子力學，只為了回答一個簡單的問題：我們能看到最微弱的光，到底有多暗？
人類的視覺系統對光線有多敏感？我們能感覺到最微弱的光有多弱？這是心理學一個古老的問題。最近發表的科學研究利用量子光學的最新科技，證實了我們的眼睛連一個光子都可以偵測得到。這個結論在心理學與神經科學上有許多理論上的重要性，不過我想對於有好奇心的一般人來說，這個結論的趣味之處，在於「光子」這個東西，通常要在物理課本裡才讀得到，這裡居然出現在心理學研究裡。我們趁這個機會回顧一下「光子」這個物理量，跟「亮度」這種感覺的關係。
「亮度」是一種可以量化的感覺嗎？
亮度是一種很直覺的感覺。大概沒有人會說不懂「甲比乙亮」是什麼意思。不過如果我請你用一個數字來表達你現在看到的東西有多亮，大部分的人應該不知道要從哪裡下手吧？「光度學」（photometry）是一門結合物理與心理學的領域，它定義了一整套表達亮度的系統。例如說「流明」（lumen）就是一個業界常用來標示產品亮度的光度學單位，電燈泡的包裝盒上就可以看得到，不過除了是要購買高檔電視或是投影機這種特殊場合以外，一般人不太注意這些資訊。由此可見在我們的日常生活裡，把「亮度」這種感覺量化，進而跟「光子的數目」連結在一起，不是很自然的事。我最近做了一些計算，發現我們身邊不管是什麼光源，產生的光子量都是天文數字。例如說一個六十瓦的白熱燈泡，每秒產生的光子量大約是八千兆個（8*10¹⁸）。你要是瞪著電腦螢幕看，一個十二點大的英文字母，每秒大約放射兩億（2*10⁸）個光子到眼睛裡[1]。我們在這種光子充足的世界裡，對亮度的差異並不是很敏感。例如說我可以感覺得到我的電腦螢幕比我的手機螢幕亮，不過到底亮了多少？是兩倍？三倍？還是十倍？實在是說不出來（用儀器測量出來的結果是兩倍）。根據直覺，我們好像不太確定亮度這種感覺是可以用數字表達的。
不過有一種人，在上千年前就發展出了量化亮度的方法。他們之所以在意亮度，是因為他們想看的東西很暗，幾乎是在視覺極限的邊緣。這些人是天文學家。
星體的亮度（星等）
記錄星星的亮度，在天文學裡是一個重要的課題。早在公元前一兩百年的古希臘時代，天文學家就把星星的亮度分為六等：夜空裡最亮的星星他們稱為一等星，最暗的稱為六等星，二等星比一等星暗一點，三等星比二等星暗一點…等等。這個稱為「星等」的系統，一直沿用到今日。一般人比較熟悉的星星，例如說天狼星（Sirius）、織女星（Vega）、參宿七（Rigel）、北極星（Polaris）這些很燦爛的星體，星等都小於二。美麗的 M33 星系常常被用來測驗眼力，它就暗到只有五等了。
這個星等系統聽起來有點籠統，而且靠得是有主觀成分的目測法。古希臘的天文學家既不懂光學，又不懂視覺，更不懂星星，他們發明的這個度量法，真的有科學價值嗎？真的能幫助我們理解天體的結構嗎？要回答這個問題，我們需要的是一種方法，可以客觀的測量不同星等的亮度。十九世紀中期的科學家發現光線可以轉換成電流，因此漸漸發展出了用電流或是電位差來度量光線強度的方法。不過在這些科技還沒有普及之前，天文學家就已經發明了一種比較精密的目測法，可以量化星光的亮度。
ㄟ …目測法不是很主觀嗎？怎麼能客觀的量化亮度呢？關鍵在於我們靠著直覺，雖然很難回答一個光源比起另外一個光源亮了多少，不過要判斷它們是不是一樣亮，就容易得多。因此，我們可以利用菱鏡，把兩個星星的星光投射到同一個目鏡上，讓它們並列，方便比對。然後我們可以調整其中一個星光的亮度，直到兩個星光看起來一樣亮為止。要調整星光亮度，可以在目鏡之前插入不同厚度的濾光紙，另一種方法是在目鏡前放一個透鏡，只要調整目鏡與透鏡之間的距離，就可以修改星光在目鏡上的亮度。這個距離，就是一個客觀的物理量，可以表達光的強度。在 1836 年，德國物理學家 Carl von Steinheil 用這種方法比較不同星等的星光強度，他發現天文學家的觀察力真的是滿厲害的，星等這種古老而且看似主觀的目測法，背後其實有一個數學規律，靠著這個規律，可以從星等推論出星光的強度[2]。
Steinheil 發現二等星星光的強度（光線的能量或是光子數量），是一等星星光強度的百分之四十、三等星星光的強度，是二等星星光強度的百分之四十、四等星星光的強度，又是三等星星光強度的百分之四十…這種等比關係，可以寫成 m1-m2 = -2.5*log(I1/I2)，這裡 m1 跟 m2 是兩個星星的星等，I2 and I2 是它們星光的強度，log 是以 10 為底的對數函數。這個簡單的公式，把左手邊的心理學跟右手邊的物理學巧妙地連結了起來。下一節我們將要用這個公式，推算不同星等的星光，發散到眼睛裡的光子數目。
這個研究當然不是說天文學家有超出一般人觀察力。它真正重要的洞見，是指出我們對於亮度的主觀感覺，是可以量化的，而且它跟光的物理強度有直接的關係。幾十年後（1860 年），心理學家 Gustav Fechner 與 Ernst Weber 把這個想法發揚光大，用實驗方法有系統地研究知覺（視覺、聽覺、觸覺等等）與物理量的關係，因而建立了現代心理物理學（psychophysics）的基礎。
用星體的亮度估計視覺的極限
因為星星是我們在一般情況之下可以看到最暗淡的光源，也許可以從天文學文獻裡，推測出視覺的極限。在晴空無月亮的深夜裡， 一般人用肉眼能看到最暗淡的星體，大約是 6.5 等。要估計 6.5 等星發出的光子量，基本的原理是把蠟燭的亮度跟星星的亮度相比較，然後用蠟燭發散的光子量（可以靠著測量蠟燭的功率推算出來）估算星星的光子量。計算結果是零等星（例如說織女星）的星光，每秒每平方公尺抵達地球大氣層的光子量大約是一千億（10¹¹ ）[3]。用上一節提到的公式，可以推算出一個 6.5 等星發出的星光，抵達地球大氣層外端的時候，每秒每平方公尺裡大約有兩千五百萬個光子（ 2.5*10⁸ photons/s/m²），也就是每秒每平方公釐是 250 個光子（250 photons/s/mm²）。不過因為這些光子只有 20% 是在可見光譜裡，我們看得到的只有 50 photons/s/mm²。因為大氣層會吸收與散射 30% 的光子，那只剩下 35 photons/s/mm²。
這個數字表達的是光子流量的密度，真正射入眼球裡的光子量是靠瞳孔的面積決定。眼睛靠著控制瞳孔的大小，調節進入眼球的光量，功能跟照相機的光圈類似。在黑暗環境裡的瞳孔，面積大約是 40 平方釐米，所以每秒大約有 1400 個光子進入眼球。
一秒鐘對生物系統而言是很長的時間。亮度這種基礎的視覺經驗不太可能反應了這麼長時間光線刺激。如果把眼睛想像成相機的話，視覺的「快門」大約是 0.1 秒。這也就是說我們在觀察 6.5 等星的時候，看到的大約是 140個光子進入眼球後所造成的[4]。
要注意的是 6.5 等星是在一般情況下的觀星極限，不過因為星星的能見度跟天空的亮度有關，如果有辦法隔離星光以外的光源，也許可以看到比 6.5 級還弱的星星。在 1901 年，美國天文學家 Heber Curtis 用特製的儀器，用肉眼觀測到 8.5 級的微弱星光[5]。他的做法是他先豎立了兩個距離相當遠的板子，板子上各有一個洞，他透過這兩個洞，觀測星空。因為只有遠方傳來的星光，才有可能同時穿過兩個孔，這個儀器能夠大幅降低周遭環境光源的影響。不久後另一個美國天文學家 Henry Russel 也接著用稍微不同的觀測技巧，用肉眼觀測到了 8.5 級的星星。8.5 級星光，因此是在心理學實驗室技巧成熟之前，所能測量出來的視覺極限。
8.5 級的星光抵達地球大氣層外端的時候，數量大約是每秒每平方公尺四百萬個（4*10⁷ photons/s/m²）。用同樣的計算方法，可以估計出在快門時間（0.1 秒）內，進入眼睛的光子大約只有 22 個！
這真是個驚人的推論，因為我們之前算出來，電腦螢幕一個小小的區域，在快門時間內發散到眼睛的光子量，都高達上千萬。由此可見視覺不但對極少量的光子很敏感，它對極大量的光子也很敏感。科學家估計，自然環境裡我們看得到最強的光，是最弱的光的十億倍（10⁹）。要理解這麼寬廣的幅度，可以想像一個秤，要能測量航空母艦的重量，但又要能精確的測量一張紙的重量才行。我們的視覺系統最厲害的地方就是它有這種能耐。
〈看見一個光子：測量視覺的極限〉的下篇將討論如何用科學實驗研究我們是如何看見單一光子的。
[1] 要知道這些數字是怎麼計算出來的，可以參考我這篇文章。
[2] 參考 Miles, R (2007) A light history of photometry: from Hipparchus to Hubble Space Telescope. Journal of British Astronomical Association 117, 172–186. 也可以參考 Hearnshaw, JB (1996) The Measurement of Starlight: Two Centuries of Astronomical Photometry.
[3] 用科學的術語講，輻照度（irradiance）大約是 10¹¹ photons/s/m²。這個數據用今日的科技可以直接測量，不過我們只要用一些簡單的知識就可以大致估計得出來。所謂的「標準蠟燭」（一燭光的光源），在一公尺之外，亮度跟 -14.2 等的星星相等 。由此可以推測零等星在可見光譜內的輻照度。接下來再假設星體發散出來的光子，數目可以用黑體輻射（普朗克定律）來趨近，從得到的分佈就可以用來計算總幅照度。使用普朗克定律，要知道星體的溫度。星體的溫度可以從顏色推算，不過在這裡我們可以籠統的用太陽的溫度 5800°K。詳情參考 Ramsey (1962) Spectral irradiance from stars and planets, above the atmosphere, from 0.1 to 100.0 microns. Applied Optics, 1. 也可以參考 Rodieck (1998) The First Steps in Seeing，以及 Ives (1916) The minimal radiation visually perceptible。請注意我們有興趣的是星星從地球上看起來的亮度，所以只需要計算大氣層外的輻照度即可，非常容易。天文學家有興趣的是星體本身發散出的光子量，那就難得多，因為需要估算星星離地球的距離。
[4] 詳情見 Rodieck (1998) The First Steps in Seeing。
[5] Weaver (1947) The visibility of stars without optical aid. Astronomical Society of the Pacific.
