Aplicação do Teorema de Transporte de Reynolds para Equações Fundamentais

Pelo que foi visto em uma postagem anterior, o teorema de transporte de Reynolds é dado pela equação abaixo.

Essa equação é importante para derivar as principais equações fundamentais da aerodinâmica, sendo elas a equação da conservação da massa, a equação da conservação da quantidade de movimento, a equação da conservação da quantidade de momento angular e a equação da energia.

Equação da Conservação da Massa

No caso da massa, temos os seguintes valores para B e beta.

Aplicando os valores na equação do Teorema de Transporte de Reynolds, ficamos com:

Das leis físicas aplicadas para um determinado volume de controle, a massa se conserva. Esse princípio é o de Lavoisier em que “nada se cria e nada se forma, tudo se transforma.”. Esse princípio diz que a massa de um sistema tem que ser fixa, pois não há geração nem remoção de massa. Com isso, temos que a taxa da massa do sistema é zero.

Com isso, a equação da massa fica:

A equação acima é a equação da conservação da massa na forma integral para um volume de controle.

Há certas simplificações associadas à equação dependendo da condição do escoamento e do tipo de fluido.

Volume de Controle Fixo

Nesse caso, os limites da integral de volume são constantes. Isso permite a seguinte simplificação.

Regime Estacionário

Nesse caso, as propriedades do fluido não variam no tempo. Isso significa que a densidade é invariante no tempo, mas pode variar no espaço.

Considerando as condições de volume de controle fixo e regime estacionário, a equação é reduzida à seguinte expressão.

Escoamento Incompressível

Nesse caso, há algumas diferenças dependendo do tipo de fluido considerado. Para líquidos, geralmente, o escoamento pode ser considerado incompressível. Para o ar, depende de um fator conhecido como número de Mach, equação mostrada abaixo. Em geral, para número de Mach abaixo de 0,3, o ar pode ser considerado incompressível.

Considerando a condição de fluido incompressível, as propriedades são invariantes tanto no espaço quanto no tempo. Isso significa que a densidade é invariante.

Considerando o volume de controle fixo e escoamento incompressível.

Equação da Quantidade de Movimento

No caso da massa, temos os seguintes valores para B e beta.

Aplicando os valores na equação do Teorema de Transporte de Reynolds, ficamos com:

Da segunda lei de Newton, temos que a taxa de variação da velocidade é igual ao somatório de todas as forças aplicadas no volume de controle.

É importante notar que essa equação é válida para um referencial inercial.

Uma vez deduzido a equação da quantidade de movimento, é importante discutir a respeito das forças aplicadas sobre o volume de controle. Essas forças podem ser divididas em duas classes, que são as forças que agem no corpo e as forças que agem na superfície. No primeiro caso, temos forças que agem sobre todo o fluido. As principais forças são peso e eletromagnética. No segundo caso, temos forças que agem na fronteira do volume de controle (tensões). As principais forças associadas são a de pressão e viscosa.

Aplicando todas essas forças na equação da quantidade de movimento, ficamos com:

Equação do Momento Angular

O momento angular é definido de acordo com a equação abaixo:

Fazendo B=H, ficamos com:

Aplicando os valores na equação do Teorema de Transporte de Reynolds, ficamos com:

A taxa de variação do momento angular do sistema é a soma dos torques aplicados ao sistema. Para deixar a equação mais geral, assumimos o referencial não inercial com volume de controle móvel, pois para cada situação há casos específicos.

Nessa equação, há a presença da aceleração relativa, característica do referencial não inercial. O que foi mudado também foi a velocidade na integral da superfície de controle móvel. A velocidade Vr é uma velocidade relativa ao volume de controle. Os dois termos adicionados têm os seguintes valores:

Equação da Energia

Para o caso da energia, o valor B será igual a energia total e beta será igual a uma energia por unidade de massa.

Aplicando os valores na equação do Teorema de Transporte de Reynolds, ficamos com:

Da termodinâmica, a energia total pode ser escrita como:

Aplicando isso na equação principal, temos:

A energia por unidade de massa, como mostrado acima, é quebrada em três energias, que são interna, cinética e potencial. Com isso, é possível escrever a energia total da seguinte forma:

Além da energia total, o trabalho também pode ser quebrado em outros fatores devido às forças aplicadas no fluido. Como a equação considera a taxa de trabalho, então, por definição, é uma potência. As principais potências consideradas são a potência de eixo, a potência da força de pressão e a potência das forças viscosas. O resultado final fica:

Aplicando a energia e o trabalho na equação principal, ficamos com:

Uma possível simplificação é colocar a equação em termos de entalpia.