Formas Canônicas Homogêneas

Os sistemas dinâmicos comentados são úteis para descrever o movimento de uma determinada situação. Contudo, deixar as equações de dinâmicas em uma forma canônica é útil para se ter uma análise mais clara de que parâmetros se deve variar para obter uma resposta melhor do sistema. Com isso, analisaremos as formas canônicas para as duas ordens, que são as principais.

Sistema 1° Ordem

O sistema de primeira ordem já foi analisado e os resultados das respostas também. Nesse sistema, sabe-se que o resultado é uma exponencial decrescente, logo, para esse sistema, é possível parametrizá-lo usando uma constante T como variável constante para uma curva de q(t).

O resultado da curva indica que para valores pequenos de T, a curva tende a se aproximar do eixo q(t), ou seja, tende a enviar uma resposta mais rápida ao sistema. Já para valores grandes de T, a curva tende a ter um tempo de resposta mais demorado.

Com isso, temos que a partir de vários valores de T, temos várias curvas q(t) possíveis. Logo T é um parâmetro importante para parametrizar a curva e ajustar o sistema de primeira ordem para situações que você deseja.

Sistema 2° Ordem

O sistema de segunda ordem também já foi comentado e obtido os resultados das respostas da equação. Logo, a partir disso, sabemos que esse sistema possui duas raízes e que há três situações possíveis para o meu sistema.

Cada um dos sistemas possuem uma série de características importantes. O primeiro caso possui duas raízes reais diferentes e o sistema é não oscilatório.Para esse sistema, damos o nome de superamortecido. No segundo caso, temos 2 raízes reais iguais e também é um sistema não oscilatório Para esse sistema damos o nome de criticamente amortecido. O terceiro e último caso é o que possui duas raízes complexas conjugadas e o sistema é oscilatório. Para esse sistema damos o nome de subamortecido.

Para transformar cada um dos sistemas de segunda ordem em canônico foi utilizado os parâmetros ζ, que é a razão de amortecimento, e wn, que é a frequência natural.

Os casos 1 e 2, que são os casos de uma exponencial decrescente, que já foi analisado no sistema de primeira ordem. Logo, em vez de usar um sistema de segunda ordem para fazer uma exponencial decrescente é mais vantajoso usar o sistema de primeira ordem por ser mais simples ter uma forma canônica.

Para o caso 3, há a criação de uma nova variável paramétrica, que é wd, que é a frequência amortecida.

Ao analisarmos as curvas de nível para wn variável, temos que a resposta, no plano complexo, são semicírculos no lado negativo do eixo real. Já para ζ variável, a resposta são várias retas que saem do centro.