Aplicaciones de los Métodos de Conteo
¡Hola! bienvenidos a la tercera entrega de la serie de Matemáticas para Data Science, en la entrega pasada se habló de cuatro formas de contar y se dieron algunos ejemplos, en esta sección nos centraremos en algunas aplicaciones de la combinación, veremos que es un método de conteo útil
Nota: Se usará la notación adoptada en la segunda entrega
¡Empecemos!
Teorema del Binomio
Desde la clase de álgebra, allá en la secundaria con el Baldor, conocemos el famoso binomio al cuadrado , esta amable expresión no es mas que un caso particular de algo llamado Teorema del Binomio.
Se llama binomio ya que solamente tiene dos términos
Definición 1. (Teorema del binomio) Sea n un número natural, el Teorema del binomio tiene la siguiente forma
Este teorema es de gran ayuda, no simplemente es para que tengamos una fórmula bonita para expresar algún desarrollo binomial, sino que con esta podemos obtener un término en específico del desarrollo
Ejemplo
Supongamos que en el desarrollo del ejemplo anterior nos hubieran pedido:
Diga cuál es la potencia de la constante ‘a’ cuando la potencia de la variable ‘x’ es la unidad
Esa pregunta puede llegar a ser fácil, solamente un poco laboriosa, porque tenemos que desarrollar el binomio a la 4ta potencia y decir con seguridad: La potencia es 4.
En cambio imaginen tener un binomio a la potencia 50, o a la 100, el cálculo es complicado y nada agradable, así que veamos el siguiente
Ejemplo
En el binomio elevado a la potencia 100, dé el término correspondiente cuando la potencia de x es 20
Solución
Obteniendo lo pedido, la expresión que está al inicio de ese término se llama Coeficiente binomial
Definición 2. (Coeficiente binomial) Es el coeficiente del término correspondiente al desarrollar la expresión binomial indicada en la definición anterior.
Nota: La expresión coeficiente binomial usualmente hace referencia a los coeficientes que aparecen en el Teorema Binomial
Teorema 3. (Propiedades del coeficiente binomial) Sean n, k, m enteros positivos, tenemos las siguientes igualdades
Demostración
Basta con aplicar la forma de la combinación y desarrollar las sumas
Nota: La primera afirmación nos dice que los coeficientes binomiales son simétricos, llegando a un cierto término, los demás serán iguales a los primeros. Observe el ejemplo de la Definición 1 vemos que a partir del término con el coeficiente 6 lo demás coeficientes son los mismos que los coeficientes anteriores
Pasemos a demostrar dos identidades conocidas, dos formas nuevas de escribir potencias del número 2 y el número 0 ahora usando la combinación
Ejercicio Demuestre las siguientes afirmaciones
Demostración
Nota Observe que las demostraciones anteriores se hicieron con el Teorema del binomio y la clave está en dar distintos valores a x y y, de ese modo podemos demostrar varias afirmaciones o identidades que contengan a la combinación involucrada, de ese modo se hará más fácil su demostración.
Aunque a veces, por ejemplo en el Teorema 3 basta usar la definición de combinación.
Observación: En la primera entrega de esta serie en la Definición 7. (Cardinalidad de un conjunto) se habló a cerca de la cardinalidad del conjunto potencia, el inciso 1) del ejercicio anterior es su demostración.
Teorema Multinomial
En esta sección veremos, como ya se dijo, el Teorema multinomial, esto es la expresión general para m términos elevados a la potencia n, no nos centraremos tanto en la expansión y desarrollo de la forma multinomial, nos interesaremos más en el coeficiente multinomial el cual es otro método de conteo sin repetición. Si el lector quiere aprender más en el desarrollo multinomial se le invita a indagar más por su propia cuenta y conocer más a cerca de ese mundo divertido.
Definición 4. (Teorema multinomial) Sean m, n enteros positivos, entonces
Definición 5. (Coeficiente multinomial) Es el coeficiente del término correspondiente al desarrollar la expresión multinomial indicada en la definición anterior.
Surge la pregunta ¿Cómo puedo emplear el coeficiente multinomial para contar?, déjeme explicar
El coeficiente multinomial es el número de maneras de particionar un conjunto de n elementos entre los subconjuntos distinguidos de tamaño dado con la condición de que sumen n
Ejemplos
1. Suponga que 20 personas serán asignadas a 3 equipos de trabajo (equipo A, equipo B y equipo C) tal que A y B tengan 8 miembros y C tenga 4 miembros ¿de cuántas maneras se puede realizar esa tarea de modo que cada miembro sea asignado a sólo un comité, o sea, que no se puedan repetir miembros?
2. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 13 cartas de un mazo de 52 cartas entre 4 personas?
Solución
Observamos que el mismo número de cartas entre 4 personas, como no se pueden repetir las cartas, elegimos libremente las primeras 13 cartas, para la segunda persona, ahora existen 39 cartas de las cuales elegimos 13, para la tercera persona sólo existen 26 cartas de las cuales elegimos 13 y para la cuarta persona existen 13 cartas de las cuales tenemos que elegir 13, así por el coeficiente multinomial tenemos que
Bibliografía
- Pavle Mladenovic. (2019). Combinatorics A Problem-Based Approach. Switzerland: Springer.
- M.H. DeGroot, M.J. Schervish. (2012). Probability and Statistics. USA: Pearson Education Inc.
Durante esta entrega vimos otras formas en donde se puede aplicar la combinación, los coeficientes binomiales y multinomiales. Es interesante ver como para los coeficientes binomiales solamente se usa una vez la combinación y para los coeficientes multinomiales se emplea varias veces dependiendo de la forma del problema.
De igual modo observamos que al modificar los términos que conforman al binomio en el teorema del binomio se pudo demostrar que algunas potencias se escriben en forma de combinación, el truco está en modificar esos términos ¡Se les invita a que modifiquen esos términos y vean que se obtiene! que otras potencias se pueden escribir en términos de combinación o que expresiones salen de esas modificaciones.
Damos por terminada la sección de Métodos de conteo, no sin antes pedir al lector que entienda bien los conceptos y las formas en que se pueden usar esos ya que para futuras entregas van a ser de gran ayuda y se usarán resultados para evitar hacer un análisis más largo
¡Saludos y gracias !
Chucho Montesinos
