Los Métodos de Conteo
¡Hola bienvenidos a la segunda entrega de la serie de Matemáticas para Data Science, en esta entrega veremos los métodos de conteo desde una perspectiva de conjuntos. Dividiremos y clasificaremos a cada uno de estos métodos para ver en qué casos se deben usar.
¡Empecemos!
-¿Sabe usted contar?- preguntaron
-Bueno, todo depende de lo que haya que contar - respondieron
¿Qué es contar?
Buscando en el diccionario de la RAE me encontré
Numerar o computar las cosas considerándolas como unidades homogéneas
Salta a la vista la palabra homogéneo, esto se puede definir como
Perteneciente o relativo a un mismo género, poseedor de iguales caracteres
En pocas palabras, contar es numerar, asociar a un conjunto de objetos una cantidad para poder determinar cuánto de eso hay en un cierto lugar. La parte de caracteres iguales dada en la definición de homogéneo nos debe de transportar a la definición de elemento de conjunto
¿Por qué contar?
Contar es numerar, cuando tenemos cantidades pequeñas, por ejemplo 5 dulces, 2 manzanas, pues no es relevante, pero al momento de tener cantidades más grandes de objetos, por ejemplo 5,000 dulces, 20,000 manzanas, 1,000 hectáreas es esencial para poder saber cuánto exactamente tenemos y quizá hacer alguna otra cosa con esos objetos.
Debemos de contar las cosas para determinar exactamente cuánto de algo tenemos
A lo largo de los tiempos los humanos hemos necesitado técnicas para contar de una forma más rápida, sin necesidad de contar uno por uno, aquí veremos cuatro técnicas de conteo
Nota: En esta entrega se usarán conceptos que se abordaron en la entrega anterior
Regla de la suma y la multiplicación
Definición 1. (Regla de la suma) Sean A, B conjuntos finitos con k y n elementos respectivamente, la suma tendrá k+n elementos, quitando los elementos de la intersección del conjunto
Definición 2. (Regla del producto) Sean A, B conjuntos finitos con k y n elementos respectivamente, el producto tendrá kn elementos
Técnicas de conteo
Nota Al momento de contar, se considera el elemento como un todo, por ejemplo, si se tiene la oración “Tenemos la mitad de una manzana y una pera” no se contará como 1/2 de manzana y 1/2 de pera, sino que se considerará como elemento, o sea, un 1/2 de manzana y un 1/2 de pera dándonos en total dos elementos
Tuplas
Una tupla es un método de conteo ordenado con repetición
Eso significa que se pueden repetir los elementos, así tenemos el siguiente
Teorema 1. (Tuplas) Sea A un conjunto con n elementos, al elegir un elemento k veces, la cantidad de arreglos de esa forma está dado por
Demostración
Tenemos que el conjunto A tiene n elementos, eso significa que la cardinalidad de A es n. Como la prueba se va a repetir k veces, por el principio de multiplicación se tiene
Ejemplo
¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos que no contienen al cero hay, si se pueden repetir los dígitos?
Solución
Queremos ver cuánto números hay con las condiciones del problema, como es con los enteros positivos, el conjunto A será A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. El número que nos piden es de tres dígitos, podemos imaginar que tendremos tres espacios los cuales hay que llenar con los números que hay en A y además es con repetición así, en el primer espacio podemos poner cualquiera de los elementos de A, al igual que en el segundo y en el tercer espacio, de esa forma sería |A|x|A|x|A|=|A|³=9³ , entonces hay 9³ números que cumplen con el criterio
Factorial
Definición 3. (Factorial) Sea A un conjunto con cardinalidad n, el factorial es el número de arreglos sin repetición de A
Permutaciones
Definición 4. (Permutaciones) Sea A un conjunto con cardinalidad n, la permutación el número de ordenamientos distintos de k elementos seleccionados sin reemplazo de una colección de n elementos diferentes
Teorema 2. (Permutación) La expresión de la permutación está dada por
Demostración
Partiendo de la expresión del factorial, tenemos
Nota en el caso especial n=k tenemos la definición de factorial
Ejemplo
Sea una urna con 8 bolas, ¿Cuántas pruebas ordenadas de tamaño 3 se tienen sin repetición?
Solución
Aquí |A|=8, k=3, aplicando la definición de permutación tenemos que hay 336 pruebas sin sustitución
Combinación
Definición 5. (Combinación) Sea A un conjunto con cardinalidad n, una combinación es el número de subconjuntos distintos de tamaño k que se pueden elegir de A
Teorema 3. (Combinación) La expresión de la combinación está dada por
Demostración
Ejemplo
¿De cuántas maneras puede un turista comprar tres pares diferentes de postales si hay 10 tipos diferentes de postales?
Solución
Tenemos que |A|=n=10 y k=3 así el número de combinaciones es 120
Combinación con repetición o Muestreo no ordenado con reemplazo
Teorema 4. (Muestreo no ordenado con reemplazo) Sea A un conjunto de cardinalidad n, el número de combinaciones k de los elementos con repeticiones está dada por
Ejemplo
Hay 10 tipos de postales. ¿De cuántas maneras puede un turista compran 3 postales (algunas de estas postales pueden ser del mismo tipo)?
Solución
|A|=n=10, k=3, sustituyendo en la forma de la combinación con repetición obtenemos que hay 220 formas de comprar 3 postales
Bibliografía
- Pavle Mladenovic. (2019). Combinatorics A Problem-Based Approach. Switzerland: Springer.
- M.H. DeGroot, M.J. Schervish. (2012). Probability and Statistics. USA: Pearson Education Inc.
En esta entrega vimos algo de los métodos de conteo, estos se emplean en probabilidad para saber cuántos son los eventos favorables en un espacio muestral. Por su puesto es común que en un problema se tenga que usar más de un método para poder obtener la respuesta correcta.
Los métodos de conteo no solamente se aplican a la probabilidad, algunas otras áreas de aplicación es el álgebra, la geometría, el cálculo, por mencionar algunas.
En la siguiente entrega de Matemáticas para Data Science veremos algunos de los ejemplos o aplicaciones que tienen estos métodos de conteo en las áreas mencionadas.
¡Saludos y gracias!
Chucho Montesinos :)
