如何測量MTF？
關於MTF的一些豆知識與小歷史
蔡司公司相機鏡頭研發部門的納斯博士（Dr. Hubert H. Nasse, 1952–2016）發表《如何閱讀MTF》專文後，獲得相當熱烈的迴響，許多讀者希望他繼續撰寫更詳盡的專業內容，因此納斯博士於2009年3月又撰寫了進階版本的《如何閱讀MTF 第二部》。第二部的內容對於一般攝影業餘愛好者來說過於艱澀，不易理解，但文末附錄特別提及了關於MTF的發展史，頗値一讀。
同樣地，本文嘗試在合理使用範圍內傳播知識的前提下，介紹原文並部分轉述MTF的發明小史，如果你是攝影技術史的愛好者，對於MTF有任何疑問，請務必先下載並仔細閱讀蔡司官網迷你網站《LENSPIRE》的原廠文件：《如何閱讀MTF曲線》（How to Read MTF Curves）。
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就像其他知識領域一樣，人們對於調制轉換函數（Modulation Transfer Function）的理解，是根基於眾人的想法和見解，本文篇幅有限，僅能提及最具影響力的幾位先驅者，並列出較為知名的人士以及他們的歷史定位，無意貶低其他人的成就。
1936年，海姆特・弗里塞（Helmut Frieser）是第一位提議以正弦波模式來測量影像品質的人。他在柏林的蔡司・伊康（Zeiss-Ikon Filmwerk）擔任研究人員時，發現週期性正弦網格（periodic sinusoidal grids）是「唯一不會因影像品質劣化而改變形狀，僅只改變振幅和座標」的圖像模式。當時他已意識到：粗略輪廓或精細細節都必須足夠好，才能達到最佳影像品質。
到了1946年，法國物理學家皮耶-米謝・杜菲厄（Pierre-Michelle Duffieux, 1891–1976）發表了一篇開創性的論文，名為《傅立葉積分及其在光學中的應用》（L’intégrale de Fourier et ses applications à l’optique），將圖形視為正弦的分量組合，並在論文中探討波動光學領域與物理定律的密切數學關係。其中許多觀念，耶拿（Jena）的恩斯特・阿貝（Ernst Abbe）早在1873年就已經應用到他的顯微鏡理論中，這正是創辦人卡爾・蔡司（Carl Zeiss）成功的基礎。
另一方面，杜菲厄使用的數學工具其來有自，是由他的同胞數學家和物理學家讓・巴蒂斯特・傅立葉（Jean-Baptiste Fourier, 1768–1830）發明的。
杜菲厄使用的許多光學專有名詞，也廣泛應用在其他學術領域，從1920年代晚期開始在電信、聲學領域中蓬勃發展，其中也包括MTF在內。此外，美國物理學家哈利・奈奎斯特（Harry Nyquist, 1889–1976）於1928年發表的取樣定理，也與此息息相關。
自從電視機問世後，電信技術與影像的關係愈發緊密。因此，將原本在電信通訊領域中普及的理論應用到光學也是必然的趨勢。本質上，是將鏡頭視為一組「電子濾波裝置」，儘管內部構造大相徑庭，卻能使用相同的數學公式描述。從1948年起，當時美國無線電公司（RCA Victor）新澤西州哈里遜的研究人員奧圖・舒德（Otto H. Schade）就發表了大量基於這種新概念的實驗成果。
到了1950年代，為了排除主觀偏見，提高測量公正性，光學產業開始製造第一批用於MTF測量的儀器。在此之前，其實已有部分實驗設備能測量鏡頭的幾何光學校正程度，而不是使用投影機投射測試圖表，但是，最終產生的交互影響很難評估。
1960年代、70年代的特點是進一步改良儀器、制定標準以及使用光學計算程序進行MTF運算的預測，將鏡頭表現最佳化。
關於MTF的測量程序的三項基本原則如下：
傅立葉分析（Fourier analysis）
這種方法是拍攝「連續週期明暗條紋」，並直接測量成像的亮度分布。若呈現的是正弦波型，那麼分析過程十分簡單，只需測量波峰、波谷的亮度，就能直接獲得調制數値。這種程序應用於數位相機資料的MTF測量，透過感光元件上的像素就能讀取亮度値。
在像素問世之前，影像圖案是利用一道狹縫來進行採樣：基本上，狹縫在圖案上方移動，同時紀錄穿越狹縫的可見影像圖案亮度。
此一原理也能逆向運作：測試儀器拍攝狹縫影像，然後使用週期圖形對其採樣，如果圖案快速移動，置於儀器後的光電元件就會產生調制訊號。對此信號進行傅立葉分析（意即測量其正弦波分量的能量變化），就能得出MTF。
此即蔡司公司研發的MTF檢測機的基本原理。在像素這類感光元件出現之前，進行傅立葉分析的感測器所使用的濾波器，是以線圈和電容器製成的龐然巨物（現已數位化）。即使沒有高速電腦，蔡司也能即時測量並取得MTF數據，這對蔡司公司系列生產過程中的品質檢驗流程而言非常重要，早在1958年，蔡司公司的MTF檢測機就能在短短數秒鐘內連續不間斷地運行，取得大量MTF數據供研究人員分析。
傅立葉轉換（Fourier transformation）
光學中許多計算都需要使用數學積分，似乎一點都不意外，因為光的局部表現都是眾多個別能量的總和。來自主體的影像或點成像，可以使用摺積積分（convolution integral）取得；繞射也可以透過類似積分法來描述，而傅立葉轉換（Fourier transformation）是對函數進行積分變換，在其他領域（從空間或時間到頻率域）也非常重要，研究者可以從點成像或條紋圖像的亮度分布來計算MTF。
這需要龐大的數學運算，拜高速電腦的普及化，這類複雜運算變得完全可行。為了提高測量精確度，必須先使用顯微鏡將測試裝置的圖像放大。
傅立葉轉換也可應用在數位影像圖檔的測量。為此，MTF測試圖表上顯示微傾斜的黑白輪廓。從這個條紋圖案中可以計算出MTF。
自我相關（Autocorrelation）
光學使用多種不同概念來描述光的性質。例如：透鏡的許多特性可以透過在鏡片表面上折射的光線來進一步理解。
但是我們還需要使用「波」（wave）的概念來理解繞射現象。波與射線之間，存在著一些簡單的關連性，亦即：射線垂直於波面，如果你扔一顆石頭到平靜的池塘，圓形波紋會向外擴散，所有的射線都指向圓中心，也就是石頭打中水面的地方。
如果一個點成像本身有像差，這意味著波面被扭曲了，以致於無法在一個理想完美的點上面匯聚。因此，透過在孔徑（＝光圈平面）中測量波前（wavefront）與理想球面之間的偏差，可以間接測出點成像的亮度分布。
測試人員通常會使用干涉儀（interferometer）來取得數據，干涉儀的條紋輪廓圖形與一種自我相關積分（杜菲厄積分）可以提供MTF數據。這種測量的優點是能提供關於光學像差類型的詳細情報；缺點則是干涉儀器使用的是單色雷射光，因此無法為實際拍攝應用提供MTF。
有了電腦輔助的速度優勢，在設計鏡頭階段經常會使用到孔徑自我相關的積分運算。
後記
需要再次強調的是，MTF本身是一種中立價値，它能幫助設計者達成目標，但並非治百病的靈丹妙藥。鏡頭本身就是一套複雜的系統，全面的光學特性僅憑區區一兩張MTF曲線圖，業餘攝影愛好者很難進一步理解精妙所在，因此不宜隨意比較兩支鏡頭的MTF數據。有興趣的朋友請撥冗參閱筆者另一篇探討MTF的文章：
參考資料：
Hubert H. Nasse, How to Read MTF Curves? PART II, page 30-31, 《LENSPIRE》
