沉迷科學的時間巨匠:Huygens 的鐘擺游絲(中)
從一晃一盪的渾圓鐘擺,到折抝成螺旋曲線的游絲,揭示了「時間」從靜態的居家物件,走出門外,從此變得無處不在。
能隨身攜帶的高精度計時物件,推展了科學研究的迅速進步,也意味著人們終於得以掌握時間之流,以一把量尺,窺探「無常」之究竟。
無常之究竟,數百年間,在無數煉金術士的實驗室中,如火煉真金一般,不斷引人追尋,彷彿天性上的原罪,出於自由意志的好奇心。
然而,正因為這份好奇心,從而使人感到困惑的是,渾圓鐘擺 / 螺旋游絲,二者之間,近乎截然不同的機械設計,究竟是如何演化出來的?
答案,便萌芽在 Christiaan Huygens 的「旋輪線」理論中 … …
所謂的「旋輪線(Roulette)」理論,在《沉迷科學的時間巨匠(上)》一文中已敘述,指得是一條曲線 A,沿著另一靜止曲線 B,進行無滑移滾動時,A 上的任一定點 P 所劃出的運動軌跡。
此一定點 P 之運動軌跡,便是「最速降落線(Brachistochrone)」,也就是在純重力作用下,不考慮外部摩擦力的介入,P 在此一理想狀態下,最快速的降落曲線。
然而,若是對數學或物理知識不熟悉的讀者們,可以用一個相當直覺而有趣的聯想:小鋼球輪盤遊戲裡,那枚小小鋼球的運動軌跡,就是 P。
小鋼球輪盤遊戲,簡而言之,便是在一枚刻有各樣數字,繪以各樣顏色,鑿以各式深淺不一凹槽的圓形輪盤上,拋擲一枚小鋼球,任憑此一小鋼球向心旋動,直到最終滑落在凹槽中,便由投注其上的玩家贏錢。
令人感到十分玩味的是,Christiaan Huygens 雖作為一名正經八百,務求嚴謹,且並無賭博嗜好的科學家,其數學理論之拓展,卻對於「博奕」產業有著巨大貢獻。
其實,在早期 Christiaan Huygens 發表論文的年代,純理論之於社會實踐,便已出現端倪,純理論應用,往往體現在一些基本民生產業裡,其中,便以「商業銷售 / 博奕遊戲 / 物流管理」三者為大宗。
同樣的一份知識,下放到民間,成了博奕遊戲,但在 Christiaan Huygens 這位原作者的手中,卻成了截然不同的另一模樣 … …
對於 Christiaan Huygens 而言,旋輪線( Roulette ),是為了運用在「懷錶」結構的改良上而產生的思考,在如此一位與生俱來的天才眼中,困擾 John Harrison 整整 30 年之久的「轉動慣量」難題,不過是一念之間的小煩惱,不值一哂。
Christiaan Huygens 早已明瞭到,高頻率振子,才是提升攜帶式計時工具之精度的重要關鍵,但真正令他困擾的地方是:一枚時鐘之所以精準,是因為按照『等時性』完美運作的耦合雙擺,那麼,究竟什麼樣的鐘擺運動,能夠完美地演示『等時性』原理呢?
出於如此動機,Christiaan Huygens 開始回頭思索:大型機械鐘的單擺結構,在 Galileo 的論述中,單擺運作的時間僅與擺繩長度相關,同擺盪幅度無關,這是一項基於理想狀態下的物理猜想,實際上,單擺運作會受到各種環境因素的干擾,如卡榫處的摩擦力、金屬在溫度變化下的曲折、空氣濕度對材料的氧化鏽蝕、空氣阻力對單擺的作用力 … …
所以,在現實世界裡的單擺運動中,擺盪幅度愈大,擺盪週期就愈長,時鐘的計時誤差也會愈來愈大,那麼 ──
在單擺運動中,是否存在一種擺盪軌跡,使得週期誤差趨近於完美?
倘若,能夠尋找到單擺運動中,接近絕對完美的運動曲線,就意味著將鐘擺依循此一軌跡運作之時,能夠獲得計時功能最完美的時鐘,也同時表示:此一軌跡很可能適用於小尺寸計時工具之上,令時間得以隨身攜帶。
抱持此一企圖,Christiaan Huygens 開始著手設計實驗裝置,在他原本的猜想中,Galileo 的鐘擺是擺盪在二維平面上的弧形運動,不可避免地遭受桿子上方卡榫處的阻力,若能將此一阻力去除,或可突破盲點。
因此,Christiaan Huygens 一改二維鐘擺的結構,使用一條細繩作為擺線,懸吊一枚質量均勻的小鐵球,並以迴旋擺盪的方式,作為新型單擺,並將之命名為「圓錐擺(Conical Pendulum)」。
圓錐擺(Conical Pendulum)的構思雖然精巧,但歷經許多時間的努力嘗試後,依舊無法完全克服環境中的干擾因素,其中便是空氣阻力、向心運動、繩張力三項主要阻礙,使得小鐵球最終歸於靜止。
然而,在科學研究的漫漫長途中,絕對沒有任何一次實驗是毫無意義的,Christiaan Huygens 的多次嘗試,雖然沒有取得直接解方,卻使得單擺運動的命題,從一項單純的物理實驗難題,轉化為一則純數學命題,引得許多數學家們紛紛投入,尋求數學上的「最佳擺線(Cycloid)」。
── 最終,此一數學問題的答案,就是『旋輪線(Roulette Curve)』。
誠如前述,旋輪線(Roulette Curve),可以簡單地透過小鋼球輪盤遊戲中,沿著外軌道運動的小鋼球軌跡演示,若僅觀察單一一次的運動情況,可以標記出一條名作「最速降落線(Brachistochrone)」的運動軌跡。
進一步說,當我們透過變分法(Variation Method)的基礎概念,將無數次小鋼球滑落的運動軌跡疊合,便可以獲得上圖的曲線形狀,也就是「旋輪線(Roulette Curve)」。
在變分法(Variation Method)的物理概念出現以先, 也就是 Galileo 所身處的年代,當時在物理學科上運用數學技巧求證的技術尚未成熟,所以 Galileo 於 1638 AD 出版的《兩種新科學》(Two New Sciences )一書中,提出一項錯誤假說,認為最速降落線(Brachistochrone)是一條簡單圓弧線。
直到 Christiaan Huygens 出於鐘擺設計之需要,重新審度此一假說,才修正了前者的失誤,於 1673 AD 的幾何著作中,推導出:最速降線即擺線,此一重要結論。
因此,若能設計出某一種物理裝置,將原本安置於時鐘上的單擺,精確而反復地按照旋輪線(Roulette Curve)的軌跡運行,理論上,就能完美地實現「等時性」的物理猜想。
遺憾的是,在 Christiaan Huygens 所身處的時代,自然科學尚且萌芽,未能結蔭,何況是更進一階的應用工程技術,基礎材料科學,乃至於對機械結構本身的想像力,都無法建造如旋輪線(Roulette Curve)一般複雜的曲線運動。
然而,旋輪線(Roulette Curve)所呈現的優美曲線,雖未能直觀地實踐在物理世界之中,卻深深啟發了 Christiaan Huygens 的想像力,開始思索其他可能性 :旋輪線(Roulette Curve)是來自最速降落線(Brachistochrone)的疊合,而最速降落線(Brachistochrone)則是來自重力(Gravity)牽引的運動軌跡 ... ...
如果,在鐘錶的機械結構中,存在一種穩定伸縮的張力,取代重力,使得來回往復的單擺運動得以實現,便能達成等時性猜想的基本條件。
──利用「彈簧力」取代「重力」,就是 Christiaan Huygens 的策略 … …
在深入說明「彈簧力」如何取代「重力」以先,我們必須先談到,首先發明「彈簧(Spring)」此一元件的發明者,正是大名鼎鼎的英格蘭科學家「Hooke (Robert Hooke, 1635~1703 AD)」。
Hooke 此一名號,相信許多讀者朋友們,即使早已忘卻國高中時候的物理知識,也應該多少記得此人姓名,並隱約地知道他和「彈簧(Spring)」之間,有著什麼說不上來的關係。
── 那個說不上來的關係,就是「Hooke’s law(虎克定律)」。
Hooke’s law(虎克定律),是用於描述物體「彈性」的一種線性方程式,在Hooke 眼中,世上一切之物都有其「彈性」,我們可以將這種特殊思想,視為物理學上「慣性」一詞的延伸,意思是物體本有的狀態特性。
其中,彈性便是一種物體的特性,是在物質接受到外力作用後,在外觀形狀上所產生的變化,同受力大小是否呈現簡單線性關係?
線性 / 非線性 (Lineary / Non-lineary),用一個最為簡單的等式來說明,就是:F=k*L,其中 F 是所受到的外部力量,k 即是彈性係數,L 則是材料外觀的形變量。
倘若外力 F 和外觀形變量 L 之間,可以恆常地在每 1/2/3/… … 倍數的 F 逐漸增加下,同樣地產生 1/2/3/… … 倍數增長的 L,二者之間,能以一個固定的 k 值進行推算,那麼便可以說,此一材料彈性,呈簡單線性關係。
因此,Hooke 發明出一種機械用元件,利用金屬材料,捲曲成長筒狀彈簧(Colum-Spring),這種彈簧,十分接近理想狀態下的線性彈性材料。
藉此,我們可以如此說:Christiaan Huygens 折抝一圈又一圈游絲的靈感,便來自虎克的長筒狀彈簧 (Colum-Spring) 元件,試圖藉材料本有的彈性,取代重力,建立近似等時性原理下的週期運動。
── 此時,我們便須更加細緻地深究,所謂的「材料彈性」到底是什麼?
所謂的「材料彈性」,簡單來說,就是將材料內部的微觀結構,視作一顆又一顆無限小的粒子組成,當材料承受外力作用之時,微觀粒子之間會相互推擠、碰撞,這些粒子之間的交互運動所產生的應力,能否將外力抵銷,並將材料恢復成原本形狀,探究此一命題的論述,就是「材料彈性」。
1660 AD,Hooke 發現若將細金屬條折抝成螺旋彈簧的結構,能使得彈簧裝置的拉伸量同所受力量成正比關係,並於 1678 AD 在《勢能的恢復 — — 論說明彈跳體能力的彈簧》一書中,正式發表「伸長量同力成正比」的敘述,使得人們對於力量和材料之間的作用方式,產生了不同以往的想像。
精確而往復的撓力,使得傳統機械的結構設計得以突破,產生更多應用上的可能性,如:捕鼠器、彈簧秤、連環弩 … …
Christiaan Huygens 同樣受到「伸長量同力成正比」此一發現的啟發,並將彈跳體勢能恢復的概念,運用在取代重力單擺的企圖之上。
最終,將缺乏實務性的「旋輪線(Roulette Curve)」,更新為另一種益加精妙的曲線設計:阿基米德螺旋線(Archimedean Spiral) ... ...
1676 AD,一個頹然坐在几皮椅上,手捧羊皮紙捲,頂著一頭亂髮的古怪男子,正對著鵝黃紙面上,一圈又一圈形狀怪異的螺旋墨跡,發出惱人低鳴。
惱人低鳴,就彷彿那一圈又一圈的墨跡上,藏著什麼深奧秘密,明明近在眼前,卻始終不得觸碰一分一毫,惹得他心中惱恨莫名。
便在他惱恨之時,一行隱約可見、細如螻蟻的斑駁文字,隨著視線纏繞在一圈又一圈螺旋墨跡,變得愈加清晰可辨。
那是一個十分古怪的拉丁文單字:Ceiiinosssttuv,意思是:細胞學。
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