La scuola platonica
Nel capitolo precedente abbiamo parlato dei Sofisti e delle loro scoperte in ambito geometrico.
I successori dei sofisti nel ruolo di guida delle attività matematiche furono i membri della scuola platonica.
Maestri del suo fondatore Platone (Atene, 427 a.C. — 347 a.C.), oltre al celeberrimo Socrate (Atene, 470 a.C. — 399 a.C.), non particolarmente produttivo nell’ambito della matematica e della filosofia naturale, furono i matematici pitagorici Teodoro di Cirene (Cirene, 465 a.C. — …), che dimostrò l’incommensurabilità, cioè la non esprimibilità come rapporto di interi, delle radici dei numeri interi comprese fra √3 e √17, escluse ovviamente le radici dei quadrati perfetti; e Archita di Taranto (Taranto, 428 a.C. — Mattinata, 360 a.C.). Non è quindi difficile capire la causa della profonda influenza pitagorica sulla scuola platonica.
Archita di Taranto incarnò i principi pitagorici, seguendo l’insegnamento dei suoi maestri Filolao (470 a.C.-390 a.C./380 a.C.) ed Eurito (V secolo a.C.), e condusse una vita austera, improntata a uno stretto autocontrollo nel rispetto delle rigide regole della setta pitagorica. Si tramanda che, come stratego autocrate della città-stato di Taranto, attuò una politica di sviluppo che portò la città a diventare la metropoli più ricca e importante della Magna Grecia; e che promulgò diverse leggi per favorire una più equa distribuzione delle ricchezze, basandole sui principi dell’armonia matematica.
Archita si interessò inoltre di scienza e di astronomia, produsse invenzioni e disegnò macchine, studiò il suono, propose una teoria delle scale musicali e, oltre che a Platone², insegnò la matematica a Eudosso di Cnido (406 a.C.?-355 a.C.?), figura molto importante che approfondiremo in una delle puntate successive.³
Ma per tornare al suo fondatore, Platone nacque intorno al 428 a.C. in una famiglia dell’aristocrazia ateniese. Diogene Laerzio afferma che intorno al 390 a.C. circa, Platone giunse in Magna Grecia dove fece la conoscenza di Archita di Taranto .² Intorno al 387 a.C Platone fondò ad Atene la sua Accademia che, in qualche modo, era simile a una moderna università. Aveva cortili, edifici, studenti e corsi impartiti da Platone, Menecmo, Dinostrato, Teeteto e altri collaboratori. Vi fu particolarmente favorito lo studio della matematica e della filosofia. L’Accademia platonica sopravvisse al suo fondatore e durò per circa novecento anni, fino a quando l’imperatore Giustiniano decise di chiuderla nel 529 d.C. perché vi si insegnavano “dottrine pagane e perverse”, estirpando così dal continente europeo l’ultimo contatto diretto con il pensiero filosofico antico. Kline¹ afferma che, in quell’anno, Simplicio e altri sei filosofi neoplatonici cercarono rifugio in Oriente e lo trovarono in Persia, dove, sotto la protezione del re Cosroe, fondarono quella che si potrebbe chiamare l’Accademia Ateniese in Esilio.
Platone non era un matematico ma il suo entusiasmo per l’argomento e la sua fede nell’importanza della matematica per la filosofia e per la comprensione dell’universo incoraggiava i matematici a perseguirne lo studio. E non è un caso se la matematica del IV secolo a.C. venne sviluppata quasi esclusivamente da suoi allievi o suoi amici.
Secondo Platone numeri e concetti geometrici non hanno nulla di materiale, sono distinti dalle cose fisiche e hanno una loro propria realtà. Essi verrebbero scoperti e non inventati o modellati, in quanto esisterebbero indipendentemente dalla mente umana.
Quest’idea sopravviverà e influenzerà profondamente matematici, filosofi e scienziati dei secoli e dei millenni successivi, tanto che ancora oggi la visione, consapevole o meno, della maggior parte dei matematici è quella del platonismo (o realismo) matematico.⁶
A tal proposito Kline¹ cita un passo in cui Platone, parlando di geometria e di matematici nella sua opera Repubblica⁷, dice: “e non sai pure che sebbene essi facciano anche uso delle forme visibili e vi ragionino intorno, non è a esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano… essi cercano in realtà di afferrare le cose stesse, che possono essere viste soltanto con gli occhi della mente”.
Da questo passo traspare l’orientamento dei Platonici, simile a quello dei tardi Pitagorici, teso a distinguere nettamente il mondo delle idee dal mondo delle cose. Il mondo materiale era soggetto a cambiamenti e non produceva perciò verità assolute come quelle del mondo ideale: eterne e immutabili. In particolare Platone riteneva che la realtà fosse costituita dalle idee perfette degli oggetti fisici e che il mondo fisico fosse una realizzazione imperfetta del mondo delle idee e perciò soggetto a decadimento. Soltanto il mondo delle idee sarebbe quindi stato degno di studio in quanto solo nei confronti delle forme pure si possono avere conoscenze infallibili, mentre intorno al mondo fisico si possono avere soltanto opinioni.
Sebbene non sia certo se nell’Accademia platonica si usasse un metodo deduttivo basato su assiomi espliciti, Platone sarebbe stato il primo a sistematizzare le regole della dimostrazione rigorosa¹, la cui paternità è attribuita alla scuola pitagorica, e a usare un metodo deduttivo a partire da principi generalmente accettati. A tal proposito, Kline si chiede che cosa possa aver spinto i Greci a scardinare tutte le regole e le procedure che erano entrate nel corpo della matematica attraverso i millenni precedenti. L’induzione, l’osservazione e la sperimentazione erano e sono ancora fonti vitali di conoscenza. Che cosa fu allora che li spinse a preferire il metodo della dimostrazione deduttiva? Secondo Kline fu il loro approccio filosofico che li rendeva inclini alla ricerca della verità e, mentre l’induzione, la sperimentazione e la generalizzazione basata sull’esperienza producono solo una conoscenza probabile, la deduzione fornisce invece risultati assolutamente certi se le premesse sono corrette. La matematica nel mondo greco era parte del corpo delle verità che i filosofi cercavano e di conseguenza doveva essere deduttiva. È questa l’esigenza che ha caratterizzato dopo di allora la matematica distinguendola da tutti gli altri campi della scienza.
Passando invece dalle questioni filosofiche e metodologiche della matematica al contenuto vero e proprio, i maggiori progressi Platone e i suoi discepoli li produssero nella geometria solida. È infatti sempre nel libro VII della Repubblica⁷ che Platone incoraggia i suoi discepoli allo studio dei solidi in quanto necessari allo studio dell’astronomia.
Di fondamentale importanza per gli sviluppi futuri fu l’intuizione, già chiara dalla precedente citazione dalla sua opera Repubblica, che le forme geometriche pure, oggetto dei nostri studi e dei nostri teoremi, in natura semplicemente non esistono.
Un cerchio o un quadrato perfetto, che pur ognuno conosce calcolandone area e perimetro, sono assenti dalla nostra realtà fisica. Nella realtà esistono solo delle approssimazioni di quelle forme teoriche. L’intelletto vedrebbe quindi, al di là della realtà sensibile, un’idea di cerchio, di quadrato e di altre forme geometriche.
Secondo Boyer⁵, fu forse in occasione dell’incontro avvenuto intorno al 390 a.C. con Archita di Taranto, di cui parlavamo precedentemente, che Platone venne a conoscenza dei cinque solidi regolari (oggi detti anche solidi platonici). Essi furono da lui associati ai quattro elementi di Empedocle in uno schema cosmologico che esercitò un profondo fascino su filosofi e scienziati per molti secoli.
Ma gli elementi di Empedocle sono quattro e i solidi regolari sono cinque. Boyer ritiene probabile che sia stato il culto pitagorico per la figura geometrica del dodecaedro a spingere Platone a considerare questo quinto solido come simbolo dell’universo.
Così con Platone la geometria assunse un ruolo simile a quello che i numeri e l’aritmetica avevano per i pitagorici. Nel modello platonico erano le forme geometriche che, sostituendo il ruolo dei numeri, furono assunte come enti prescelti alla spiegazione dei fenomeni dell’Universo.
I solidi platonici furono poi studiati con maggiore razionalità da Euclide e da altri geometri greco-alessandrini che saranno tema di prossimi capitoli. Nel prossimo parleremo invece della scuola di Eudosso.
- Morris Kline — Storia del pensiero matematico
- https://it.wikipedia.org/wiki/Archita Cicerone ritiene che Platone si recò in Sicilia per conoscere le dottrine pitagoriche che apprese da Archita e che condivise divenendo lui stesso pitagorico.(Cfr. Cicerone, De Repubblica I 16, De finibus bonorum et malorum, V 87, Tuscolanae disputationes, I 39)
- https://it.wikipedia.org/wiki/Archita (Ubaldo Nicola, Atlante illustrato di Filosofia, Giunti Editore, 2000 p.64)
- http://www.treccani.it/enciclopedia/ippocrate-di-chio/
- Carl B. Boyer — Storia della matematica
- Per gli altri approcci filosofici alla matematica si veda https://it.wikipedia.org/wiki/Filosofia_della_matematica
Realismo matematico, ovvero platonismo
Formalismo
Logicismo
Costruttivismo e intuizionismo
Teorie della mente incorporata
Costruttivismo sociale o realismo sociale - Repubblica Libri VI VII: la metafora della linea e il mito della caverna
