Pitagora VI - L’incommensurabilità della natura: triangolo, pentagono o corde vibranti?

dodecaedro regolare

Nel capitolo precedente abbiamo detto che Ippaso di Metaponto, uno dei più brillanti allievi della scuola di Pitagora, trovò un oggetto non misurabile attraverso i numeri allora noti; e che con esso l’allievo scardinò la dottrina dei pitagorici sintetizzata dal motto della scuola: Tutto è Numero; e che addirittura, dopo il suo rifiuto di mantenere la segretezza di tale scoperta, egli venne condannato a morte per annegamento.

Quello che non abbiamo ancora detto è quale fosse l’oggetto non misurabile attraverso un numero (incommensurabile) scovato da Ippaso.
Dicevamo però che anche questa è una domanda ancora aperta. Attualmente, per quanto ne sappia, esistono tre diverse ipotesi in merito. E in tutti e tre i casi il destino dovette apparire piuttosto beffardo ai pitagorici.

La prima ipotesi è quella proposta da Giamblico: “Di Ippaso si dice che era un Pitagorico, e che sarebbe perito in mare come empio per aver divulgato la sfera che egli per primo aveva costruita geometricamente a partire da dodici figure pentagonali”¹. Ipotesi rivalutata successivamente da Kurt von Fritz². Ma la “sfera” costruita con dodici figure pentagonali non è altro che il dodecaedro regolare. Che per definizione è costituito da dodici pentagoni regolari.

dodecaedro regolare

E il pentagono regolare è proprio il poligono dal prolungamento dei cui lati si costruisce il pentagramma regolare. Cioè, il simbolo dei pitagorici. Quindi, il baco che minava le fondamenta della dottrina pitagorica si sarebbe celato proprio nel simbolo della scuola. Ma in quale punto preciso del simbolo fu scovato quest’oggetto? Beh, esso non dimorava in un solo luogo, ma in molti dei rapporti tra i vari segmenti del simbolo.

Da http://centros.edu.xunta.es/

In seguito si scoprirà che in questo caso ci si trovava di fronte ad un irrazionale molto particolare: e cioè la celeberrima sezione aurea; che si ritrova sorprendentemente anche in molte altre aree dello scibile umano: dalla pittura all’architettura, fino alla musica e alla letteratura.

La seconda ipotesi, di cui ci parla Aristotele³, vuole invece che l’oggetto sia affiorato durante lo studio del rapporto tra lato e diagonale di un quadrato. E cioè in un caso specifico del Teorema di Pitagora. Quindi, second questa ipotesi, l’oggetto mostruoso si sarebbe annidato nel celebre teorema del maestro!

Diagonale del quadrato di lato 1

Il caso particolare più semplice del teorema, che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente. Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell’ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi, nel nostro caso 
1² + 1² = x²
Da cui, sommando
2 = x²
Il problema di cui si accorse Ippaso è che questo numero x, che elevato al quadrato è uguale a 2, numero che oggi chiamiamo radice di 2 e scriviamo √2, non si può esprimere come un rapporto di numeri interi, cioè detto in termini più tecnici, non può esistere alcuna coppia di interi m ed n tali che m/n = √2 ⁴. Il che equivale a dire che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato. In altre parole, se assumiamo il lato del quadrato come nostra unità di misura, non riusciremo mai ad esprimere un rapporto di numeri interi che possa rappresentare la lunghezza della diagonale.

Infine nella terza ipotesi⁵ si ritiene che la scoperta del concetto di incommensurabilità sia legata al tentativo di risolvere un problema della teoria musicale⁶. Le lunghezze di due corde che emettono suoni tra di loro consonanti sono in certi ben precisi rapporti numerici, per esempio nel caso dell’ottava nel rapporto 12 : 6. I pitagorici si sarebbero posti il problema di determinare la lunghezza di una terza corda, indichiamola con L, di misura intermedia tra 12 e 6 unità e tale che potesse generare due consonanze uguali: una facendo vibrare la corda maggiore e l’intermedia L e l’altra facendo vibrare quest’ultima e la minore. Questa condizione implicherebbe che il rapporto tra le lunghezze della maggiore e dell’intermedia 12 : L debba essere uguale a quello tra le lunghezze dell’intermedia e della minore L : 6.

Quindi 12/L = L/6
Cioè L² = 2
Vi ricorda qualcosa?
I pitagorici avrebbero così trovato delle corde le cui lunghezze non erano esprimibili con dei numeri naturali ma queste non sarebbero potute esistere secondo la loro teoria.

Se la congettura di Szabò⁶ fosse vera, allora emergerebbe un’altra interessante coincidenza numerico-matematica relativa a quella lunghezza L per spiegare la quale c’è bisogno di una breve premessa. La scala musicale pitagorica (o sue sue variazioni), che era costruita con le frazioni numeriche, fu sostituita tra i secoli XVII e XIX dalla scala temperata, basata sui numeri irrazionali. Nella scala temperata per innalzare un suono di un semitono bisogna moltiplicare la sua frequenza per la radice dodicesima di due. Il che, nella corda di lunghezza L, equivale a dividere L per la radice dodicesima di due. Ma allora, se voglio innalzare il suono di quella corda di tre toni, cioè sei semitoni, dovrò dividere sei volte L per la radice dodicesima di due.

E cioè per la radice dodicesima di due elevata alla sesta potenza. Che equivale a dividere L per √2. Quindi, nella scala temperata, la radice di due, l’oggetto diabolico che mise in crisi la dottrina dei pitagorici, è il coefficiente che genera il cosiddetto tritono.

E sapete che nel medio evo il tritono era considerato un’insopportabile dissonanza e veniva chiamato “diabolus in musica”?
Una coincidenza? Noi di Altramatematica pensiamo di no!

Ma, scempiaggini a parte, il fatto comune alle suddette tre ipotesi è l’individuazione di un oggetto la cui misura non si può esprimere come un rapporto di numeri interi.⁷ E questo oggetto non riconducibile ai numeri interi rappresentò per i pitagorici il diabolus in matematica, la bestia nera che faceva crollare il loro modello cosmologico. È facile immaginare che la scoperta creò molta preoccupazione all’interno della scuola. Non si sarebbe più potuto asserire che la natura è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell’Universo. Era il controesempio che falsificava la teoria. Così il modello pitagorico implose inesorabilmente.

E che successe alla scuola dopo il crollo delle fondamenta teoriche?

Questo lo vedremo nel prossimo capitolo …

Per chi invece volesse sapere come andarono le cose direttamente dalla voce di Pitagora può leggere Pitagora, Ippaso e la scoperta dell’irrazionale oppure la versione più approfondita ne La musica dell’irrazionale.

Indice della serie

Note

1 Giamblico, Summa pitagorica, Bompiani 2006
2 The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum — Annals of Mathematics — Second Series, Vol. 46, No. 2, Apr., 1945, pp. 242–264
3 Analitici primi, I.23.41a23–7
4 Di dimostrazioni se ne trovano molte. Alcune vengono riportate su wikipedia e la prima che trovate lì è quella classica.
5 Giacomo Michelacci / L’evoluzione del metodo nella matematica greca — Esercizi Filosofici, Vol. 6, anno 2002
6 Szabò, The beginnings of Greek mathematics, Dordrecht, Reidel, 1978
7 Da questa negazione deriva anche il termine “irrazionale”, dal latino ratio, che significava originariamente “rapporto” o “calcolo”, evolutosi in seguito anche nel significato di “ragione”. Irrazionale quindi in quanto non esprimibile come un rapporto di numeri interi.