Math and statistics

正常值

醫生對病人有四個責任：診斷、治療、預後、衛教，其中診斷是所有醫療行為的基礎，診斷就是分類，分類的第一步就是分辨該病人是否正常。

無限大和無限小

在漫畫「聖鬥士星矢」中，一輝在處女宮逃不過佛陀轉生的處女座聖鬥士沙加的佈陣：他由「埃」走到「塵」、「沙」，再去到「那由他」、「不可思議」、「無量大數」，然後驚覺自己一直仍在佛陀手掌中。

百（10²）、千（10³）、萬（10⁴）、億（10⁸）、宇宙的年紀（130 億年）、兆（10¹²）、京（10¹⁶）、垓（10²⁰）、秭（10²⁴）、可觀測宇宙的直徑（10²⁷ 公尺或 930…

一個小小的公式

我在初中唸人人懼怕的幾何學時，老師是一個長得瘦小、斯文，戴著ㄧ副金邊眼鏡的中年人。

當他每ㄧ次上課講到精彩處時，都會叫我們閉上眼睛，ㄧ邊想像在古代埃及的金字塔旁和尼羅河邊的農民和漁夫是如何利用「畢氏定理」來測量周遭的事物。

因果推論的方法

圖一的巧克力消費愈高的國家，諾貝爾獎得主愈多。那麼是否代表吃巧克力會得諾貝爾獎呢？

x 與 y 相關可能代表三件事：x 造成 y（因果關係）、y 造成 x（逆因果關係）、z（混淆變項）造成 x 和 y（假性相關）。如果 x 和 y 都造成…

因果關係

• 預測（在一個新的族群，x1 是否能預測 y？）：低偏差是正確性，低變異是精確性。模型愈複雜，偏差愈低，但是變異愈高。預測值的誤差等於偏差 + 變異，「偏差-變異權衡」就是取一個讓誤差最低的模型。即使 x1 的 95% 信賴區間包含 0、模型有偏差或模型的假設不符合也無所謂。這是機器學習的目的。
• 解釋（模型是否能解釋產生 y 的理論？）：x1 的 95% 信賴區間不能包含 0？模型必須無偏差（x1 是不偏估計值）、模型的假設必須符合（例如：線性回歸的假設是殘差常態分佈和等變異性，x1 和 y 的關係是線性等）。這是傳統統計學的目的。

觀察性研究的因果關係

y = a + bx1 + cx2 + dxi + e：y 是相依變項，xs是獨立變項，e 是殘差，x1 是我們想要研究的暴露因子，x2 是其他的因子，xi 是未測量的混淆變項。

除了 x1 以外，其他的 xs 是否要放進回歸公式裏面的判斷標準是理論（假設），而不是 xs 的 p值，也不是「模型選擇」（例如：逐步回歸）。在因果關係的研究上不能用「模型選擇」，「模型選擇」只能用於預測模型（與理論無關）的建立，這是大數據、機器學習、人工智慧的目的。

無法判定、無法計算、無法預測

數學是科學的工具，但是數學並不等於科學。某些數學的本質（無法判定、無法計算、無法預測）並不會影響大自然本身，但是會影響我們用數學來了解、預測大自然的能力。

無法判定：

一個邏輯系統（例如：數學、科學）必須要有幾個條件，第一是「有效性」：只要「前提」正確，那麼結論一定是正確的。第二是可靠性：所有的定理都是真的。第三是自洽性（一致性）：任何公理或定理都不能互相矛盾。第四是完備性：沒有不能證明或否證的有效命題。

感性是一個無理數

14 世紀義大利的文藝復興終結了歐洲從羅馬帝國滅亡開始的黑暗時代，它以人類（而非神）的視角探討科學、文化、藝術。從此人類自己（而不是神賦予的）擁有了理性與感性。

「永遠，到底是多久呢？」

每一個人都知道全體包含局部，但是有時候局部也會包含全體。

例如：自然界中常見的自我相似構造-碎形：樹枝、肺部支氣管和腎臟血管系統的分支等。「科學的目的和夢想是由一團糟中找出一個簡單的公式來解釋它」（曼德布洛特）。